Poisson White Noiseの解析

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近年飛田解析として知られるようになったWhite Noiseの解析理論から導かれる諸結果は物理・生物・工学等の分野に応用されつつある。そこで確率過程(正確には確率超過程)の中でも代表的な正規過程が研究されているが、もう一方の代表であるPoisson過程の場合もほぼ同様の結果が成立する。しかし、前者は連続な道を取り扱い、後者は純不連続な道を取り扱うと云うまったく異なった確率過程である。従って、この間の関連性を調べることは非常に大事である。S^*:White Noise μをもつTempered Distributionsの空間このときGel'fand Traiple S<L^2(μ)<(S)^*が成立し、次のWiener-Ito分解が成り立つ L^2(μ)=Σ〔D6∞(/)n=0〕D6Z^nこの分解定理の右辺はn次ウイナ-積分の直和になり、その各要素は積分表現と同型対応し、その表現核{f^<(n)>}と1対1対がついている。このことは、2乗可積分な確率過程{X_t}がWhite Noiseにより、つぎのように表現できることを示している。Xt=∫^t・・・・∫^tf^<(n)>(t_l,・・・・,t_n)dz(t_1)・・・・dz(tn)我々の目的はこの核を決定することである。正規過程の場合D,W,Stroockのより、形式的にはMalliavin解析を適用して決定できることが分かっている。Poisson過程の場合も同様に証明できる。しかし、ことき表現定理を確率論の問題に適用使用とすると具体的な決定手段に欠ける。その一つの例として多重マコフ性の問題に適用するとき、上の結果から有効な解析的道具が導き出せていない。そこで我々は同型対応変換で重要な役割を果たす2つの多項式(Hermite-多項式、Poisson-Charier-多項式)に注目した。このため京都・名古屋の研究者10名ほどからなる数式処理の研究者10名ほどからなる数式処理の研究会(日本大学の小林英恒氏を講師に招き)名市大で開きREDUCE(数式処理ソフト)をパソコンPC9801で走らせて、多項式の性質を計算機でいろいろと調べる研究を始めることにした。まだこれに関して具体的な結果は現れてはいないが大型計算機を用いなくても簡単に多項式の性質を調べられることが分かってきた。このときの講義録を多くの研究者が利用できるようにプレプリントを多数作成し配布しようと準備を進めている。(平成2年度中には配布する予定)