曲面の特異点の回りでの幾何学

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交付申請書の研究計画に対応させて述べる。まず曲面に関する事では、良いパラメーターに関する一つのアイデアは得られたが、公表する様な結果を出すに致って居らず、残念乍ら、今後の継続課題と言える。次に微分方程式に関する面であるが、今迄にモノドロミー群及び既約性判定条件が知られているのは、2階のGaussの方程式、その拡張としての一般化され超幾何方程式とJordanーPochhammerの方程式であろう。階数毎に見ると、計算可能なのは2階ではGaussのみ、3階では上述の2つのみである。4階に到って超幾何及びJordanーPochhammer以外に2つ、私が過去に決定したAppellの超幾何函数F_3のみたす方程式系の1次元の切り口、そして、今回、本研究で出したもう一つの方程式を決定した。更に、その一般偶数階への拡張である方程式についても、そのモノドロミー群及び既約性判定条件を決定した。それら2つは、私が大久保typeと呼ぶ方程式の形で研究した。これらの方程式の解の正体は、19世紀以後の様々な特殊函数を眺め回しても、それらの理論の中に組み込むことが出来ず、従って未知と言える。それらの函数の正体をはっきりさせる事は、今後の重要な研究課題の一つである。最後に、モノドロミー群が有限群となる場合を調べる件であるが、大変な幸運に恵まれ、19世紀来のこの分野の課題であった、一般化された超幾何方程式のモノドロミー群が有限になる場合をほぼ決定した。ほぼと述べた理由は2つあり、1つは、大久保予想が正しければ、今回私が研究した方法で全てつくされる事。もう1つは、非原始群になる場合、私の見出した無限個のCaseで全てつきているかどうか、完全に証明していない点である。今後の課題は、今述べた2点を究める事といえる。いずれにしろ、私の結果によって、一般化された超幾何方程式について、シュワルツ理論の第1歩を踏み出せた、と思う。