数理物理学に現れる偏微分方程式の解の研究

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1.常微分方程式に、周期外力が働くと、解は色々複雑な挙動を示す。外力のパラメーターに応じて、外力と同じ周期の解が複数個存在したり外力周期の整数倍の周期をもつ解が複数個存在したり、あるいは、カオス的な振舞いをしたりすることが、計算機シミュレーションでは見られていたが、その厳密な証明はなかった。本研究ではこの計算機による数値計算を精密に調べ、区間演算による正確な誤差評価を行うと共に、基本解の評価も計算機による数値計算と誤差解析を併用して、外力と同じあるいは整数倍の周期を持つ複数個の周期解の存在証明を初めて厳密に行った。外力パラメーターが非常に大きい時には、誤差評価等が、まだ不足しており今後の課題である。この計算機を用いた証明法は、これからの微分方程式の解の構造を調べ、解析的証明を与える新しい有効な一つの方向を示している。文献〔1〕。その際計算機による区間演算のソフトが必要であるが、IBMのACRITHソフト以外、日本のコンピューターで動く良質のものがなく、今後作成され利用されるべき重要なソフトの一つである。2.粘性気体に周期的ピストン運動が加わる時の気体の運動を研究した等温気体の場合には、ピストンと同じ周期を持つ運動が存在することが証明できた。1の常微分方程式系の場合と異なり、非線形偏微分方程式系の問題であり、その解の安定性や、複数個の周期解の存在等、今後解析さるべき多くの問題がある。更にポリトロピック気体の場合にはピストンと同じあるいは整数倍の周期を持った周期解が存在しないことが証明できた。これは、解が必然的にカオティックであるか爆発するかを示すものであり、その解析は今後の興味深い課題である。文献〔3〕3.斜面上を流れる自由表面を持った流体運動の基礎的解析を行った。文献〔4〕