数理科学の微分方程式の解析的研究

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力学系・非線形偏微分方程式系の解の定性的性質及び解空間の構造とその変化の研究を行った。(1)力学系:分岐などカオスの発生について研究し、ヴェクトル場のある退化特異性からのLorenz型のカオス的アトラクターの発生の研究を完成させた。更にorbit-flipと呼ばれる余次元2のホモクリニック軌道の倍分岐が無限回引き続いて起こるような大域的分岐現象を、ある種の区分線形ヴェクトル場を解析的・数値的に調べることにより見出した。(2)流体方程式:自由表面を持ったBenarl-Marangoni型の熱対流問題について、平衡解の安定性を解析し、臨界Raylxigh数を越えると分岐現象が起ることを証明した。その際線形化方程式系のスペクトルをパラメーターの変化に従って追跡しなければならないが、これを解析及び数値計算の総合による計算機支援証明法として定式化し、利用した。回転する同軸円筒間の流体運動は、Taylor問題として調べられているが、回転が逆方向になると、解析的手法のみでは扱えられなかった。これを取上げ、スペトクルが対の共役複素数として現れ、臨界Taylor数を越えるとHopf分岐を起していることを、上記計算機支援証明法を用いて示した。論文を準備中である。(3)数理物理学の方程式:Dirac作用素の高エネルギーでのリゾルヴェントの漸近挙動、散乱振幅・全散乱断面積の漸近挙動を調べ、遂にそれらから元の電場・磁場を再構成できることを示した。Schrodinger型方程式の初期値問題の解に滑化作用があることを示した。不変微分作用素の研究、特にdual pairとそれに付随するCapelci恒等式の全く新しい一つの形を得た。