代数体のZpー拡大とKー理論について

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代数体kに対して,その整数環をO_kとし,O_kのQuillenの意味のn次Kー群をKn(O_k)とし,kのデデキントのzetaー関数をζ_k(s)とする。Lichtenbaumにより,Kn(O_k)とζ_k(s)の間に密接な関係があることが予想されているが,我々の研究により次の事が判った。1.代数体k_1のQ上のガロア閉包をLとし,Lのk_1上の体次数を(L:k_1)とする。このとき代数体k_2に対して,ζ_<k1>(s)=ζ_<k2>(s)ならば,(L:k_1)を割らない素数PについてKn(Q_<k1>)のtorsion部分のPーsylow部分群とKn(O_<k2>)のtorsion部分のPーsylow部分群が同型になることが判った。(Komatsu,Eine Bemerkung uber Dedekindsche zetafunktionen und KーGruppe,Archiv cler Math vol.54(1990))。さらにζ_<k1>(s)=ζ_<k2>(s)ならばKn(O_<k1>)とKn(O_<k2>)のfree rankが等しいことが判った。これはLichtenbaum予想を間接的に支える結果である。さて,Pを奇素数とし,kを総実な代数体,k'をkのPー拡大(k'/kがガロア拡大で,ガロア群の位数がPのへきになっている拡大)とする。さらに,k'/Kで分岐する素イテアルで分岐指数とその素イデアルが互いに素なるものの個数をtとする。このときk(e(2πl)/P)のcyclotomic Zpー拡大を研究することによって次が判った。2.拡大k'/kが巡回拡大ならば,nー2が4で割れる自然数nについて,Kn(O_k)のpーrankはt以上になる。この結果から代数体のK一群と拡大の分岐の間に密接な関係があることが判明した。さらにKn(O_k)とK(e(2πl)/P)のイデアル類群の間にも関係のあることが判明した。