複素解析空間におけるLevi問題とその周辺の研究

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Levi問題の中で、Stein空間X内の領域が内部からStein部分領域によって近似されているときそれ自身もStein領域となるか、という問題を前提に研究してきた。XがStein多様体の場合は肯定的に解決されているが、特異点をもつStein空間では全く未知であり、この問題が肯定的に解決される様なStein空間Xをより多くより一般な形で見つけることが興味ある一つの研究の方向である。我々はこの方向に沿って、XがC^nの開かつ固有な写像の像となっていればよい事を見出した。そこで具体的にこのようなStein空間Xを構成することが今年度の目標であり、実際それはある種のC^nの変換群を考える事によりそのような空間が作られることがわかった。まず多項式環C^n[X_1,…,X_n]から有限個の斉次多項式Q_1,…,Q_qをとる。Gを各Q_jを不変にする様なGL(n;C)の元からなる群とする。Gがある種の対角行列のみから成る場合はC^n内の部分多様体として埋込まれ、その場合に限定して研究を進めた。YをC^nからいくつかの超平面を除いたGー不変な開集合とし,SをY内の解析的集合(この場合は実はC^rと同一視される)、RをGから導かれるS上の同値関係とする。RはS上に作用する有限群G′によるS上の同値関係と同じになるので、H.Cartanの結果により商空間S/RはあるC^q内の代数的多様体として実現され、即ちStein空間となる。更に我々は商空間Y/GがS/Rに被約されることを示した。よって、こうして得られるStein空間X=Y/Gが求めるものである。こゝでは群G(よって多項式Q_j)をかなり限定して考えたが、あまり条件を付けずもう少し一般な形でStein空間Xを見つけていくことが今後に残された課題である。