複素解析空間におけるLevi問題とその周辺の研究

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複素解析空間×内の領域Ωが内部からStein領域によって近似されているとき、Ω自身もStein領域となるか、というLevi問題を研究してきた。Xが【C^n】の場合及びStein多様体の場合は既に背定的な解決を得ているが、Xがnon-Stein多様体の場合は反例が示されており、またXが一般のStein空間の場合には全く未解決の状態となっている。ただその際、ΩがRunge領域で近似されているという十分条件の下では、ΩもStein領域になるという重要な結果(K.Stein)がある。J.E.Fornaess(1979)はこの問題が肯定的に解決されるような空間の例を構成しているが、それは【C^4】上の分岐リーマン領域となっており、一般に【C^n】上の分岐リーマン領域では肯定的な解決を得るのではないかということを示唆するものである。不分岐リーマン領域では、maximaし、polydiscの半径をd(x)とすれば、領域がSteinか否かは-logd(x)の多重劣調和性で判定出来るから、まずΩから分岐点の集合Sを除いた領域Ω＼SがSteinであることを導く。Sが余次元1の解析的集合であればこのことは正しいことがわかる。次いでΩ上の多重劣調和関数を、∂Ωnsを除けばΩをexhaustするように構成する。残る問題は、∂Ωnsの方向にexhaustする多重劣調和関数を構成すればよいのだがこれがなかなかやっかいであり、∂ΩnsのXでの近傍としてstein近傍がとれゝば可能であることがわかった。しかし出来れば余計な条件を付けなくとも成立することが望ましく、今後の課題としては、【C^n】上の分岐リーマン領域で分岐点の集合が余次元1の解析的集合であるような空間に的をしぼってこの問題を更に研究していくことである。