多次元複素ユ-クリッド空間の有理型周期関数の研究

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多次元複素ユ-クリッド空間の有理型周期関数の周期は、多次元複素ユ-クリッド空間の粗な部分群となる。したがって、有理型周期関数は多次元複素ユ-クリッド空間を粗な部分群で割った商空間上の有理型関数となる。したがって我々の目的の有理型関数の研究は,可換な複素リ-群の研究と一致する。可換な複素リ-群は,複素ユ-クリッド空間を粗な部分群で割った商空間と同型となる性質から、複素ト-ラス上のスタイン多様体をファイバ-とするファイバ-バンドルの構造をもつことがわかる。そこで先ず、このようなファイバ-バンドルでは、コホモロジ-を計算するために、特殊なDolbeault同型が存在することを証明した。この同型定理を用いると、先の商空間の正則形式に対するコホモロジ-の計算が、すべての場合に、出来ることを示した。この結果、正則形式に対するコホモロジ-は、粗な部分群の数論的性質で決定されることを明らかにした。ここで用いた、特殊なDolbeault同型定理は、一般の多様体を底空間にし、ファイバ-がスタイン多様体となるような、局所自明なファイバ-空間に一般化されることを証明した。この一般化を用いて、複素リ-群のコホモロジ-の計算を完成した。この結果によると、複素リ-群の部分群で、複素ユ-クリッド空間を粗な部分群で割った構造をもつ特定の部分群が全体の複素解析的構造を決定していることがわかった。現在これらの研究を直線来やバンドルに値をもつコホモロジ-の計算に、応用可能かどうか研究中である。又これらの成果は、セ-ルの予想が肯定的である場合と否定的である場合の判定にも利用出来ると思われ、現在検討中である。