有限次代数体上有限次ア-ベルlー拡大の中心拡大modulomの研究

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A.Frohlichは素数lに対して、Q上の有限次ア-ベルlー拡大で狭義の類数がlと素なものを、Q上有理的に決定できることを示した。本研究の的的はこれらの結果の一般の有限次代数体k上に拡張することであった。そのために、まず一般のア-ベル拡大K/kに対して、Hasse Norm principleの成立条件の理論をm^*を法とするものに拡張した。その結果、kのある自然なmodulus mを定め、これから決まるKのmodlus m^*に対し、適当な条件のもとで、局所ノルム群の大域ノルム群による剰余群k_<(m)>N_<k/k>(J_<km*>)/N_<k/k>(K_<(m*)>)は、Coker(ΣΛ^2)→Λ^2(G))と同型になることが得られた。ここでG=Gal(K/k)である。次にこのことの応用として、ア-ベルlー拡大K/kがmーprime導手をもつ体の合成体の場合、mを法するHasse Norm Principleの成立条件が指標を用いてk上有理的に表されることが得られた。一方、genus理論modulo mの研究から、この場合genus数が1と素な場合には、Kがmーprime導手もつ体の合成体となることが示された。これらのことから、kの類数が奇素数lと素なとき、kのある自然なmodulus mに対して、k上の有限次ア-ベルlー拡大Mで、m^*を法にするMのRay類数が1と素になるようなMを決定することができた。これは、Frohlichの結果の拡張であり、これにより本研究の当初の目的が達成されたことになる。この結果の一部は既に昨年秋の日本数学会で発表を行なった。更に、これらの結果は現在"Genus fields and central extensions modulo m of finite Galois extensions of algebraic number fields"と題する論文に纏めているところであり、いずれ発表の予定である。