線形加法的確率場の研究

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Levyの多径数ブラウン運動は,パラメ-タを任意の直線に制限したときに,独立増分の確率過程になっているという著しい性貭を持っている。確率場のこの性貭を線形加法性と呼ぶことにして,一般の無限分解可能な線形加法的確率場の構造について研究した。Chentsovは径数空間R^dのブラウン運動が,R^dのαー1次元超平面全体の空間H_d上のガウス型ランダム測度によって表現できることを示した。これに対応する表現を有限および無限次元径数空間上の一般の線形加法的確率場に対して導くことが本研究の主な目的であった。この問題はAmbartzumianによるR^2上の線形加法的擬距離の表現と密接な関係があり,Hilbertの第4問題とも関連していて幾何学的にも興味がある問題である。径数空間が有限次元の場合の表現は一応完成し,近く雑誌Probability Theory and Related Fieldsに発表の予定である。径数空間が無限次元の場合の表現は,ガウス型の場合でも知られていないようである。この場合は有限次元径数空間の場合の表現の射影的極限として表現が得られることがわかった。細部は目下検討中である。また無限次元径数空間上のブラウン運動は,任意の球面上の値から全空間における値が定まるという著しい性貭(決定性)を持つことがLevyによって見出されている。この事実のLevyによる証明はガウス過程の見本関数の解析性に関するLoeveの定理を利用するもので,非ガウス型の場合には適用できない。非ガウス型確率場の決定性を,上記の表現を利用して証明できないかと現在検討しているところである。