多様体上の熱方程式

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今年度は、多様体上の熱方程式(拡散方程式)のうち、必ずしもリーマン計量と直接関係しない方程式、特に、係数関数が単にヘルダー連続である熱方程式ならびに主部が退化している熱方程式について考えることを、研究目的としていた。そして、前者に関して以下に述べる結果を得た。(現在、学術雑誌に投稿準備中である。)ユークリッド空間内の上半空間上で定義された、係数関数がヘルダー連続である熱方程式の斜反射境界値問題の基本解の構成と特異性の評価が、確率論の研究者により最近なされた。その方法を多様体のコンパクト領域上の、係数関数がヘルダー連続である熱方程式の斜反射境界値問題に適用し、その結果、基本解の構成と特異性の評価を得た。これは従来知られている結果と比べて、一般に多様体内の領域で考えているという点、並びに参考にした上半空間の場合の理論と同様初等的方法で基本解を構成しているという点が新しい。なお、ユークリッド空間内の領域の場合には、考察している問題の基本解は存在すれば一意であることが知られている。従って、今後の研究としては、一般の多様体の領域の場合にも、基本解の一意性を示すことが考えられる。また、すでに知られている結果と照らし合わせてみると、特にユークリッド空間内の領域の場合に、領域のコンパクト性の仮定をはずすこと並びに基本解の評価式を改良すること、も期待される。なお、主部が退化している熱方程式については、今年度は新しい結果を得ることはできなかった。