Schrödingeroperatoren im euklidischen Raum und Laplaceoperatoren auf fraktalen Mengen

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(gekürzt):In Natur und Technik treten Diffusionen und Wärmeleitung in inhomogenen Medien in mannigfacher Weise auf. Potentialtheoretische Methoden ermöglichen schon im homogenen Fall eine einheitliche Behandlung ganz verschiedener Situationen. Daher sollen sie auch für Probleme auf inhomogenen Medien genutzt werden. Vorgesehen ist die Beschäftigung mit den folgenden zwei Arten von Störungen: a) Störungen, an die nur sehr schwache Annahmen gemacht werden, die dafür aber "nicht zu weit" vom homogenen Fall entfernt sind. Modellfall ist die Störung des klassischen Laplaceoperators auf dem euklidischen Raum (Rd) durch ein signiertes Maß µ zu einem sogenannten Schrödingeroperator D-µ. Dies entspricht der zufälligen Vernichtung oder Erzeugung von Teilchen. b) Störungen, an die starke Annahmen gemacht werden, die dafür aber "weit" vom homogenen Fall entfernt sind. Der entsprechende "Modellfall" ist ein "Laplace-Operator" auf einer fraktalen Menge, d.h. einer Menge mit extrem vielen Löchern oder Hindernissen, auf denen keine Bewegung erlaubt ist. Dies entspricht sich bewegenden Teilchen in porösen Medien. (...)