Eigenschaften von Schrödingeroperatoren auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten: ein probabilistischer Zugang

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In den letzten 15 Jahren wurden verstärkt Schrödingeroperatoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten untersucht. Im Gegensatz zum euklidischen Fall von Schrödingeroperatoren in Rd sind hier noch grundlegende Fragen offen. Gegenstand dieses Projekts sind speziell Schrödingeroperatoren mit singulärem magnetischen Vektorpotential und sogenannte verallgemeinerte Schrödingeroperatoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Insbesondere erwarten wir eine Reihe neuer Resultate über Stetigkeitseigenschaften der zugehörigen Kerne und Versionen des Satzes von Leinfelder und Simader [LS] über die wesentliche Selbstadjungiertheit singulärer magnetischer Schrödingeroperatoren. Der Zugang ist im Gegensatz zu den meisten bisherigen Arbeiten zu diesem Thema probabilistisch, und zwar durch eine Darstellung der zugehörigen Halbgruppe mit einer Feynman-Kac-Itô Formel. Während solche Darstellungen für Schrödinger Operatoren traditionell erst aus der wesentlichen Selbstadjungiertheit gefolgert werden, kann man sie verhältnismäßig schnell direkt beweisen, und erhält damit umgekehrt ein sehr nützliches Werkzeug beim Studium der analytischen Eigenschaften der Operatoren.