不変式論における変形理論と完全交叉

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1.変形理論について:不変式論では変形概念は環上の群作用と適合する種種の次数付構造として現れ、よい構造を分析する際有用である。(1)Borho-Kraftにより導入されたassociated coneを一般化し、これを用いて次の定理を示した:簡約可能代数群G=G'×Tの同次元型相対的安定表現VについてV_1をV^Υに入らないG'非自明な既約表現とする。T'=Ker(T→GL(V_1))°、H=G'×T'とするとK[V_1]^<G'>=K[f]、(V_f,H)は同次元型相対的安定作用、L=K×T'を(V_1,H)の生成的安定化群とすると(V/V_1,L)は同次元型であり、(((V_1^k)_f【symmetry】V/V_1),N_H(K))は安定である。(2)Popovによって導入されたcovariantsにかかわる変形定理はPanyushevにより一般化された。しかしこれもまだ十分強力とはいえない。これを一般化する試みはまだ途上である。しかしその応用として2.の(1)を得た。2.完全交叉について:Vinbergを中心としたロシアのグループはregularな不変式環を与える表現の分類を始め、種種の重要な表現概念を得た。この一般化である完全交叉となる不変式環は1.の(2)、簡約可能代数群の同次元型表現や非連結半単純代数群の不変式環の中間物として現れ、重要性が認識されつつある。(1)単純代数群の完全交叉となるcovariantsの環を与える既約表現を決定した。(2)不変式環の場合は可約表現についてA型を除いて多くの場合に分類を行ったが、完全な分類には至っていない。1.の(2)で課題として述べたことがこの分類の完成の為の一つの道筋である。一方、半単純代数群についてかかる表現の次元のeffectiveな評価を改良した。3.同次元型表現について:1.の(1)の応用として簡約可能代数群の同次元型表現の規約成分を別の方法で決定するとともに群に対してかかる表現は本質的には有限であり、2.の(2)の後半のような事(評価の改良)が出来る。4.群生成構造、(射影)類群の構造、組み合わせ論について:研究を行ったが、詳細は略する。