半単純代数群の不変式論

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半単純代数群の線形な作用によるaffine空間の商空間をaffine空間の閉部分多様体として実現する場合、その最小埋め込みが群表現にどのように反映するかは、Hilbert以来の古典的テーマである。最近、中島により、次のようなことが得られた。1.正なる与えられた埋め込み余次元をもつ既約商空間の同型類は、有限個であり、それらの表現対にあらわれる最高ウエイトを上から、effectiveに評価できる。2.完全交叉となる既約商空間の分類の概略3.ShephardーToddの結果の正標数への一般化1.の成果は、Lie群による変換群論などに応用をもつものとして、その方面への研究計画を準備中である。2つの分類の完成には、まだ多くの困難がともなう。それらは、古典不変式論の計算が複雑の為に発生しているわけであるが、こうした困難は、従来の不変式論を越える新たな方法の必要性を訴えている。この方面の研究こそ、HilbertーPcpovーKnopkの研究の限界を打ち破るものと思われる。1.2.の成果により、このテーマのプログラムの半分以上を達成したつもりであるが、それにともなって新たな課題が発生していると総括できる。一方、有限群に関連するものとして、最低、BeukertーHeckmanにより超幾何関数のモノドロミーが分類された。このモノドロミーの不変式を決定できたが、更にある種の微分方程式の鏡映を含む、有限とは限らないモノドロミーの分類とその不変式も決定したい。