無限分解可能過程に対する分布の同等問題

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(1)我々はこの数年間の研究において,非ガウス的で無限分解可能な分布に従う確率過程や確率場に対する確率積分表現や分布の同等性の問題を系統的に扱ってきた。すなわち,時間的一様性を仮定しない場合の多次元加法過程,線形加法的な無限分解可能確率場など。そしてこれらはいずれも無限分解可能ランダム測度に関する問題として統一的に扱うことができることを示した。今回の研究ではこの立場から無限分解可能ランダム測度に対するPoissonランダム測度による確率積分表示をさらに詳しく考察した。また無限分解可能ランダム測度の分布が同等,すなわち互いに絶対連続,であるための十分条件を対応するLevy測度によって記述した。特にあるクラスの積分核を導入することにより,それに対応する無限分解可能ランダム測度がサンプルごとに定義できることを示した。その応用としては無限分解可能ランダム測度に対するJordan分解が得られる。このタイプの確率積分表示の応用については今後の課題としたい。(2)上の研究と平行して非ガウス的な安定確率場のもつ構造の豊かさへの理解が進められた。このような安定分布はガウス分布と類似した性質をもつと同時に,取扱いにはガウス分布の場合とは全く異なるテクニックを必要とする。これらのテクニックへの習熟と新たなテクニックの開拓を今後の課題としたい。また確率場の局所非決定性や局所時間の問題など安定確率場のもつ豊かな構造の解明が今後の課題である。