最適な線形符号の代数的および幾何学的構成の研究

有限体GF(q)(qは素数または素数べき)上のn次元ベクトル空間をV(n,q)で表す。V(n,q)のk次元部分空間Cを符号長n、情報点の個数kの符号と言う。dをCの最小重みとしたとき、[(d-1)/2]以下のerrorを修正できる。このため、n,k,qを与えたとき、出来るだけdを大きくしたい。この時、つぎのような問題が考えられる。(1)k,d,qを与えたとき、最小のnを持つ線形符号を求めよ。(2)n,d,qを与えたとき、最大のkを持つ線形符号を求めよ。(3)n,k,qを与えたとき、最大のdを持つ線形符号を求めよ。(1)、(2)、(3)のような符号を「最適な符号」と言う。これらの最適な符号を求める問題は「Packing Problem」と言われてまだ未解決の問題である。玉利と浜田は、有限体上の有限射影幾何を用いて、数多くの最適な符号を構成した。本研究では、この結果を更に進めることが目的である。XをGF(q)上で定義された種数gの非特異射影曲線とする。Rat(X)で曲線X上の有理関数体を表す。P_1,P_2,…,P_nをX上のGF(q)-有理点とし、D=P_1+P_2+…+P_nとおく。G=Σ__jm_jQ_j,m_j>0をXのGF(q)-有理的因子とする。ただし、suppG∩suppD=φとする。 L(G)={f∈Rat(X)|div(f)+G>__-0orf=0}と定義する。Φ:L(G)→GF(q)^n f→(f(P_1),f(P_2),…,f(P_n))とすると、Φ(L(G))は[n,k,d]線形符号となる。2g-2<deg(G)<nのときは、k=deg(G)+1-g,でd>__-n-deg(G)である事が知られている。本研究では、n,k,qを与えたとき、曲線から得られる符号について、計算機を用いて出来るだけdが大きくなるような線形符号の構成を試みた。

有限体GF(q)(qは素数または素数べき)上のn次元ベクトル空間をV(n,q)で表す。V(n,q)のk次元部分空間Cを符号長n、情報点の個数kの符号と言う。dをCの最小重みとしたとき、[(d-1)/2]以下のerrorを修正できる。このため、n,k,qを与えたとき、出来るだけdを大きくしたい。この時、つぎのような問題が考えられる。(1)k,d,qを与えたとき、最小のnを持つ線形符号を求めよ。(2)n,d,qを与えたとき、最大のkを持つ線形符号を求めよ。(3)n,k,qを与えたとき、最大のdを持つ線形符号を求めよ。(1)、(2)、(3)のような符号を「最適な符号」と言う。これらの最適な符号を求める問題は「Packing Problem」と言われてまだ未解決の問題である。玉利と浜田は、有限体上の有限射影幾何を用いて、数多くの最適な符号を構成した。本研究では、この結果を更に進めることが目的である。XをGF(q)上で定義された種数gの非特異射影曲線とする。Rat(X)で曲線X上の有理関数体を表す。P_1,P_2,…,P_nをX上のGF(q)-有理点とし、D=P_1+P_2+…+P_nとおく。G=Σ__jm_jQ_j,m_j>0をXのGF(q)-有理的因子とする。ただし、suppG∩suppD=φとする。 L(G)={f∈Rat(X)|div(f)+G>__-0orf=0}と定義する。Φ:L(G)→GF(q)^n f→(f(P_1),f(P_2),…,f(P_n))とすると、Φ(L(G))は[n,k,d]線形符号となる。2g-2<deg(G)<nのときは、k=deg(G)+1-g,でd>__-n-deg(G)である事が知られている。本研究では、n,k,qを与えたとき、曲線から得られる符号について、計算機を用いて出来るだけdが大きくなるような線形符号の構成を試みた。