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An analytic research on "estimates of character sums" and "the distribution property of primitive roots"

“字和估计”与“原根分布性质”的解析研究

基本信息

批准号：
11640050
负责人：
MURA Leo
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Meiji Gakuin University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2001
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11640050/
关键词：
Character Sums L(1 2+it,X)the Residual Order the Residual Index Artin's Conjecture Primitive Roots Lー関数の特殊値原始根の分布 Vinogradovの不等式 Burgessのbound

项目摘要

In this research, we studied about "estimates of character sums" and "the distribution property of primitive roots".On estimates of character sums, we considered some averages of the character sum S(X ; 0, N), where S(X ; 0, N)=Σ^N_<n=0>X(n), and we got a new upper bound for the average value of |S(X ; 0, N)|. Our bound is an improvement of the famous Polya-Vinogradov's bound and Burgess' bound, in the sense of average. As an application of this new bound, we obtained some average type results on the q-estimate of L(1/2+it,X).Let a be a positive integer with a【double plus】1 and Q_a(x ; t,s) be the set of primes p【less than or equal】x such that the residual order of a(mod p) in the group (Z/pZ)^* is congruent to s modulo t. It is known that the residual order fluctuates quite irregularly and we know only little about the distribution property of the residual order so far. In this research we calculated the natural densities of Q_a(x ; 4, i) for i=0, 1, 2, 3 (Collaboration with Dr. K. Chinen). Our main result shows that, for example, when a is square-free and ≡1l(mod 4), then the above distribution has a beautiful property:The natural density of Q_a(x ; 4,0) and Q_a(x ; 4,2) =1/3, unconditional result,The natural density of Q_a(x ; 4, 1) and Q_a(x ; 4,3) =1/6, under Generalized RiemannHypothesis.We got similar results fore more general a's.

在本研究中，我们研究了“特征和的估计”和“原始根的分布性质”。在字符和的估计上，我们考虑了字符和S（X; 0， N）的一些平均值，其中S(X; 0， N)=Σ^N_< N =0>X(N)，并且我们得到了|S(X; 0， N)|平均值的一个新的上界。我们的界是著名的波利亚-维诺格拉多夫界和伯吉斯界在平均意义上的改进。作为这个新界的应用，我们得到了L（1/2+it，X）的q估计的一些平均值型结果。设a是一个正整数，有一个[双加]1，Q_a（x; t,s）是素数p[小于或等于]x的集合，使得群（Z/pZ）^*中a（p模）的残差阶等于s模t。已知残差阶的波动是非常不规则的，迄今为止我们对残差阶的分布性质所知甚少。在这项研究中，我们计算了i= 0,1,2,3时Q_a（x; 4, i）的自然密度（与K. Chinen博士合作）。我们的主要结果表明，例如，当a是无平方且≡1l（mod 4）时，则上述分布具有一个美丽的性质：Q_a（x; 4,0）和Q_a（x; 4,2）的自然密度=1/3，无条件结果，广义黎曼假设下Q_a（x; 4,1）和Q_a（x; 4,3）的自然密度=1/6。对于更一般的a，我们得到了类似的结果。