滑らかでない反応項を伴う非線型放物型方程式及び楕円型方程式の解構造の研究

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平成14年度においては、非線形放物型偏微分方程式、および関連する非線形楕円型偏微分方程式に対する解構造の研究に従事した。とりわけ、非線形項を滑らかな関数に限らない点が当該研究の特徴である。滑らかさを欠く非線形項を伴う微分方程式は、被食生物-捕食生物系などの多くの数理現象のモデル方程式に現れうる。一方で、数学的には「滑らかな非線形項を伴う微分方程式」と比べて解析が著しく困難になるケースが多く、未解決問題を多く残しており、その解明のため平成12年度より研究を推進してきた。その環として本年度は、被食生物(プレイ)と捕食生物(プレデター)の個体数密度のダイナミクスを記述する反応拡散方程式の解構造の解明に従事した。本年度の具体的成果として、次の1および2が挙げられる。1 正値定常解(関連する非線型楕円型方程式の正値解)が複数個存在することを数学的に証明した。2 ホップ分岐現象による時間周期解の存在を証明した。3 正値定常解の漸近安定性の判定に成功した。1と2は、相互拡散のケースでのみ起こりうる数理現象を示したことに意義がある。この結果は、解のもつ時空的なダイナミクス(被食生物と捕食生物の個体数密度のダイナミクス)が、相互拡散効果の有無によって本質的に異なることを示唆する。3については、局所的な安定性のみを判定しており、解のもつ挙動と共存定常解の大域的関係の解明については、今後の課題となる。