交差拡散を伴う数理生物学モデルの近平衡系に対する解析基盤の構築

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有界領域で縄張り争いをする２種類の生物種の個体群密度の時空的変化を記述する偏微分方程式として、ロトカ・ボルテラ競争系に各種のランダム拡散と種間の拡散の相互作用を加味したモデルが重定・川崎・寺本によって提唱されている(1979)。このモデルは拡散の相互作用のプロトタイプとして研究が続けられており、現在では、提唱者に因んでSKTモデルとよばれている。とりわけ交差拡散とよばれる異種間の拡散相互作用が解構造に与える影響を明らかにしようとする立場が、SKTモデルの研究の主流の一派といえる。前段の研究課題においては、ディレクレ境界条件の下で両種の交差拡散係数を無限大とする操作（両方交差拡散極限）によって、定常解の成す大域分岐枝は、両方の種がほぼ同じ形状で少数ながら共存する状態の枝（少数共存）と競争種同士がほぼ完全に棲み分ける状態（完全棲み分け）の枝に分類されることを示した。当該年度の研究においては、それぞれの枝に対応する定常解の線形化安定性の判定を行った。結果として、すべての枝に対応する正値定常解は線形化不安定であることが分かった。より詳しく、片方の種のみが生き残る半自明解が線形化安定であり、半自明と同時に自明解から分岐する少数共存解は、完全棲み分けの枝が二次分岐を起こすまではモース指数が１の意味で不安定であることが示された。少数共存解から最初に二次分岐を起こす完全棲み分けの解の枝にモース指数１の性質が転移し、その二次分岐点以降では少数共存解はモース指数２の意味で不安定性を増していることが分かった。さらに、少数共存解の枝をたどると、棲み分けのテリトリーを増していく完全棲み分けの枝が次々と分岐していくが、分岐点ごとにモース指数の不変性は棲み分け解の方に受け継がれ、少数共存解はモース指数を１ずつ増加させていく構造が明らかとなった。