ガロアの逆問題に対する構成的研究とその応用

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研究課題「ガロア逆問題に対する構成的研究とその応用」に基づいて研究を行い,本年度は以下の成果を得た.1.種々の有限群に対するNoether問題の考察及び生成的多項式族の具体的構成に関する研究前年度の研究によって得られていた不変式論によるNoether-Luroth問題へのアプローチを,より多くの有限群に対して適用する為の研究を行った.最近G. Kemperは「降下生成性」の概念を提唱し,有限群Gに対する生成的多項式がその部分群Hに対しても生成的であることを示した.しかし,その概念は抽象的であり,具体的にG-多項式からH-多項式を構成する手段については未知であった.そこで当研究ではその具体的構成法について考察し,生成的多項式に対する「幾何学的降下」理論の構築に至った.これによってGの部分群束の各元に対応する生成的多項式間に成立する(代数)幾何学的な関係を見出した.更に,本年度の研究により進展を得ている代数函数体上での(計算機による)計算手法を当理論と組み合わせることによって,より多くの有限群に対して生成的多項式が具体的に構成できるようになった.特に位数が16以下の殆んど全ての有限群及びSL(2,C)の全ての有限部分群に対して生成多項式を具体的に構成した.また,その一部について,上記降下理論に関連する数論的性質を明らかにした.2.多項式によるp-群の表示に関する研究有限体の直和に多項式によって表示される演算を導入して有限群を構成する問題は従来から研究されていたが,当研究ではこれが群コホモロジーの記述と直接関係することを示し,群コサイクルを多項式で表示する問題の具体的解答を与えた.なお,上記研究の成果として数編の論文を現在投稿中である.