複素代数曲線の摂動に伴う特異点及び無限遠点の変化に関する幾何学的研究とその応用

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上記の期間、主に以下の研究に従事しました。1.Divideの理論の曲面上への拡張と、divideのファイバー曲面のHopf bandsによるplumbing構造の証明。2.6次の複素代数曲線内に現れる特異点の分類。3.結び目補空間のcyclic slope, finite slope, Seifert slopeのboundary slopeによる評価。DivideはN.A'Campo氏により平面曲線特異点の幾何的構造の結び目理論への一般化として導入されたものですが、彼はそれをさらに曲面上に拡張することにより、曲面の接円束内の結び目理論に応用できることを示しました。また、plumbing構造の研究においては、plumbing操作とモース型特異点との間に1対1があることを示しました。6次曲線に関する研究においては、トーラス型と叫まれる6次曲線の分類はだいたい完了しており、一般の6次曲線の分類が研究の中心となりつつあります。その最初のステップとして、6次曲線に局所的に現れる特異点のリストを作成に従事しました。これは今後、大域的な分類をするにあたり、特異点の存在の可能性を組合せ的に調べる上で重要な資料となります。結び目補空間の研究において、cyclic群を持つ3次元多様体を生成するデーン手術の研究は、ポアンカレ予想にも関連した重要な対象となっています。Culler-Shalen理論は基本群のSL(2,C)表現から基本群の分解を発見するという理論であり、代数幾何的な考察からcyclic slopeの存在可能性を評価できることが知られています。上に挙げた研究においては、Culler-Shalen normの無限遠点の分配を評価することによりcyclic slope等の良い評価を得ることに成功しました。