高速多重極法を用いた境界積分方程式の高速解法

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音響学、電磁気学、動弾性問題を扱う境界積分方程式では、ヘルムホルツ方程式を扱うことになる。これらの問題では、周波数が大きくなるほど、実用的な精度の数値解を得るために未知数が大きくなるので、高周波の問題は扱うことは出来なかった。ここに、高速多重極法を用いることによって、大規模な高周波問題の解析が可能となる。しかし、高速多重極法を用いて、従来は解析できなかったような問題が解析できるようになっても、ヘルムホルツ方程式を扱う限り、周波数や問題の規模が大きくなると計算量が非常に大きくなるという傾向は避けられない。このため、大規模問題の解析では並列計算を視野に入れる必要が出てくる。ヘルムホルツ方程式への高速多重極法の適用に関する研究は、diagonal formを用いたものが盛んであるので、diagonal form多重極積分方程式法の並列化に関する研究を行った。Diagonal Formでは基本解の単位球面上での積分表示を用いるので、単位球面を分割し、各プロセッサに割り当てることによって、多重極法を運用する際に導入するツリー構造を意識することなく、容易に並列化を行うことが出来る。今回は、クラックによる3次元スカラー波動場の散乱問題の多重極積分方程式法での並列化を行った。通信ライブラリにはMPIを用いており、提案した手法ではMPIライブラリのひとつであるMPI_ALLREDUCEのみで並列化を行うことができるというメリットがある。ただし、通信回数が多いので使用するプロセッサの数が大きくなると同期のための待ち時間が大きくなり、並列化効率が悪くなってしまうという傾向が見られる。数値実験の結果、8CPUで約6倍高速化されるという結果が得られた。通信回数を減らすための工夫が今後の課題である。ここで、提案した並列化手法はヘルムホルツ方程式を扱う電磁気学や動弾性問題でもそのまま用いることが出来る。