長距離相互作用系の解析とランダム行列理論への応用

远程相互作用系统分析及其在随机矩阵理论中的应用

• 批准号: 01J05968
• 负责人: 西野 晃徳
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J05968/
• 关键词: 量子多体系; カロジェロ-サザーランド模型; 逆二乗相互作用; 多変数直交多項式; 上昇演算子; ノルム計算

カロジェロ-サザーランド型の量子系(CS系)とは、一次元空間上で粒子間距離の逆二乗に比例する相互作用を持つ量子多体系であり、粒子数と同数の互いに可換な保存演算子を持つ「量子可積分系」の一つであることが知られている。いくつかのCS系においては、ハミルトニアンとこれら全ての保存演算子を同時対角化する固有状態が存在し、この固有状態に従来の一変数直交多項式の多変数一般化が現れることが特徴的である。本年度は、周期的な空間におけるCS系の一般化として知られるルイセナース模型に対して、識別可能、ボソン的粒子を想定した場合の固有状態とそこに現れる多変数直交多項式、マクドナルド多項式について解析的に研究した。識別可能な粒子を想定した場合のルイセナース模型の保存演算子がダブルアフィンヘッケ代数で与えられることを利用して、これらの保存演算子の固有値を変化させる上昇演算子をこの代数の表現から導入し、全ての固有状態がこの上昇演算子を用いて構成できることを示した。また、この上昇演算子を用いると状態のノルム計算が容易に実行されることを示した。これは、従来のセルバーグ型の積分等を用いた計算方法に比べて、相互作用の強さを表すパラメータに関してより一般の場合に適用できる方法である。さらにこのような識別可能な粒子に対する固有状態の変数を対称化してボソン的な状態を構成し、ボソン的な固有状態のノルム計算を実行した。数学的にはマクドナルド多項式の内積値予想の別証明を与えたことになる。ルイセナース模型には不純物が存在する場合、三体相互作用が存在する場合などのバリエーションが存在することが知られている。数学的に言えば、この模型はアフィンリー代数のルート系に付随させて一般化できる。本研究で与えられたアプローチにおいて注目すべきことは、それがこのような全てのバリエーションに適用できる一般的な形で与えられていることである。

カ ロ ジ ェ ロ - サ ザ ー ラ ン ド type の quantum system (CS) と は, on the one dimensional space で particle distance between の inverse squares に proportion す る interaction を a つ quantum system more で あ り, particle number と with several の mutual い に operator may be retained in な play を hold つ "quantum integration system" の a つ で あ る こ と が know ら れ て い る. い く つ か の CS department に お い て は, ハ ミ ル ト ニ ア ン と こ れ ら て all keep の を play operator also diversification す seaborne る inherent state が し, こ の inherent state に 従 to の a - generalized orthogonal polynomial の - more Numbers が now れ る こ と が of 徴 で あ る. This year は, cycle な space に お け る CS is の generalization と し て know ら れ る ル イ セ ナ ー ス model に し seaborne て, identify possible, ボ ソ ン particle を scenarios し た occasions の inherent state と そ こ に now れ る - more number of orthogonal polynomial, マ ク ド ナ ル ド polynomial に つ い に て analytic study し た. Identify possible な particle を scenarios し た occasions の ル イ セ ナ ー ス model の save play operator が ダ ブ ル ア フ ィ ン ヘ ッ ケ algebraic で and え ら れ る こ と を using し て, こ れ ら の の inherent numerical を save play operator variations change さ せ る rise in operator を こ の algebra の performance か ら import し, whole て の inherent state が こ の を rise in operator with い て constitute で き る こ と Youdaoplaceholder0 indicates た. を ま た, こ の rise in operator with い る と state の ノ ル ム が easy に line be さ れ る こ と を shown し た. こ れ は, 従 の セ ル バ ー グ の integral etc を with い に た calculation method than べ て, strong interaction の さ を table す パ ラ メ ー タ に masato し て よ り に の occasions suitable で き る method で あ る. さ ら に こ の よ う な identify possible な particle に す seaborne る inherent state の - several を says the seaborne し て ボ ソ ン な state を し, ボ ソ ン な inherent state の ノ ル ム computing を line be し た. In mathematics, the に, に, に, ドナ, ドナ, ド of polynomials, the <s:1> inner product value is used to separately prove を and えた, とになる, とになる. ル イ セ ナ ー ス model に は impurity content exist が す る occasions, three body interaction exist が す る occasions な ど の バ リ エ ー シ ョ ン が exist す る こ と が know ら れ て い る. Mathematical に said え ば, こ の model は ア フ ィ ン リ ー algebra の ル ー に ト department pay with さ せ て generalization で き る. This study で and え ら れ た ア プ ロ ー チ に お い て attention す べ き こ と は, そ れ が こ の よ う な full て の バ リ エ ー シ ョ ン に applicable で き る general で な shape with え ら れ て い る こ と で あ る.

项目成果

Akinori Nishino, Yasushi Komori, Hideaki Ujino, Miki Wadati: "Symmetrization of nonsymmetric Macdonald polynomials and Macdonald's inner product identities"Studies in Applied Mathematics. 108. 399-425 (2002)

Akinori Nishino、Yasushi Komori、Hideaki Ujino、Miki Wadati：“非对称麦克唐纳多项式的对称化和麦克唐纳内积恒等式”应用数学研究。