量子多体系におけるエネルギー準位交差現象の解析的・数値的研究

超可積分カイラルポッツ模型に見られるイジング的スペクトルを、あるXXZ型量子スピン鎖におけるループ代数L(sl_2)対称性の観点から解析した。2次元イジング模型のN状態拡張の一つして知られるカイラルポッツ模型は、系の持つパラメータの特殊値において転送行列スペクトルがイジング的な振る舞いを見せ、超可積分カイラルポッツ(SCP)模型と呼ばれる。このイジング的スペクトルは系の持つオンサーガ代数の構造と、オンサーガ代数の有限次元既約表現を定める多項式(ここではカイラルポッツ多項式と呼ぶ)によって説明されている。本研究ではこのSCP模型の転送行列と可換な転送行列を持つXXZ型量子スピン鎖、冪零バジャノフーストロガノブ(BS)模型を導入し、そのエネルギー縮退空間とSCP模型のイジング的スペクトルの対応を調べた。まずこの冪零BS模型がある部分空間でループ代数L(sl_2)の対称性を持つことを示した。冪零BS模型はベーテ仮説法により固有状態が構成できるが、(正規)ベーテ状態はこのL(sl_2)の最高ウエイトベクトルのみを与える。次にこのベーテ状態によって生成されるL(sl_2)縮退空間を考え、それを特徴付けるドリンフェルド多項式を計算した。得られたドリンフェルド多項式は先のカイラルポッツ多項式と一致し、この事実はSCP模型におけるイジング的スペクトルの属すオンサーガ代数の有限次元既約表現空間と、冪零BS模型のL(sl_2)縮退空間が同じ次元を持つことを示している。さらに冪零BS模型におけるベーテ仮説の完全性と冪零BS模型の転送行列スペクトルに関するベーテ状態の非縮退性を仮定すれば、この2つの空間は同一視される。なお本研究で得られた成果は基研研究会「場の量子論の基礎的諸問題と応用」(京都、2005年12月)、CREST量子情報ワークショップ(箱根、2005年12月)、American Physical Society Annual March Meeting(Baltimore、2006年3月)、日本物理学会第61回年次大会(愛媛で2006年3月)において発表された。

超可積分カイラルポッツ模型に見られるイジング的スペクトルを、あるXXZ型量子スピン鎖におけるループ代数L(sl_2)対称性の観点から解析した。2次元イジング模型のN状態拡張の一つして知られるカイラルポッツ模型は、系の持つパラメータの特殊値において転送行列スペクトルがイジング的な振る舞いを見せ、超可積分カイラルポッツ(SCP)模型と呼ばれる。このイジング的スペクトルは系の持つオンサーガ代数の構造と、オンサーガ代数の有限次元既約表現を定める多項式(ここではカイラルポッツ多項式と呼ぶ)によって説明されている。本研究ではこのSCP模型の転送行列と可換な転送行列を持つXXZ型量子スピン鎖、冪零バジャノフーストロガノブ(BS)模型を導入し、そのエネルギー縮退空間とSCP模型のイジング的スペクトルの対応を調べた。まずこの冪零BS模型がある部分空間でループ代数L(sl_2)の対称性を持つことを示した。冪零BS模型はベーテ仮説法により固有状態が構成できるが、(正規)ベーテ状態はこのL(sl_2)の最高ウエイトベクトルのみを与える。次にこのベーテ状態によって生成されるL(sl_2)縮退空間を考え、それを特徴付けるドリンフェルド多項式を計算した。得られたドリンフェルド多項式は先のカイラルポッツ多項式と一致し、この事実はSCP模型におけるイジング的スペクトルの属すオンサーガ代数の有限次元既約表現空間と、冪零BS模型のL(sl_2)縮退空間が同じ次元を持つことを示している。さらに冪零BS模型におけるベーテ仮説の完全性と冪零BS模型の転送行列スペクトルに関するベーテ状態の非縮退性を仮定すれば、この2つの空間は同一視される。なお本研究で得られた成果は基研研究会「場の量子論の基礎的諸問題と応用」(京都、2005年12月)、CREST量子情報ワークショップ(箱根、2005年12月)、American Physical Society Annual March Meeting(Baltimore、2006年3月)、日本物理学会第61回年次大会(愛媛で2006年3月)において発表された。