有理尖点平面曲線の研究

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有理尖点平面曲線がクレモナ変換で直線に移せるかを調べることが今年度の研究の目的であった。結論としてはこの問題の解決には至らなかった。以下に今年度に行った研究の概要と得られた結果を述べる。研究の過程においてすべての曲線を対象にするのは困難であると判断し対象を尖点を一つだけ持つ曲線に絞り、クレモナ変換で直線に移せない曲線を探す方針で研究した。その結果曲線の補集合の対数的小平次元が2かつ対数的2種数が正で最小特異点解消の例外曲線の双対グラフが線形である曲線は直線に移せないことが分かった。しかしこの条件を満たす曲線を発見することはできなかった。次にこの結果を得る過程で得られた結果を述べる。尖点を一つだけ持つ対数的小平次元が2の有理尖点平面曲線はOrevkov氏が発見した曲線の系列以外に知られていない。この曲線関して、被約な平面曲線で対数的小平次元が0以上かつ対数的2種数と対数的3種数が0になるものはOrevkov氏の構成した曲線の中の二つと同様に構成できることが分かった。さらに尖点を一つだけ持つ対数的小平次元が2の有理尖点平面曲線で、最小特異点解消による固有変換の自己交点数が最大になるものはOrevkov氏が発見した曲線と同様に構成できることが分かった。またこの結果の証明に用いた手法を使って、尖点を二つだけ持つ対数的小平次元が2の有理尖点平面曲線で、最小特異点解消による固有変換の自己交点数が最大になるものの分類に成功した。これにより新しい有理尖点平面曲線を発見することができた。