対数的小平次元が非負となる開代数曲面に関する研究

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1.対数的小平次元と対数的2種数がゼロになる開有理代数曲面について、前年度構成した極小モデル(強極小モデルと呼ばれている)を対数的デルペッゾ曲面の構造定理と対数的標準被覆の技術を用いて考察し、無限遠境界の交叉数行列が負定値行列で無い場合の強極小モデルを全て分類した。更に、その分類結果を用いて、非特異部分の対数的小平次元と対数的2種数がゼロになる高々商特異点を持つ正規アフィン代数曲面の強極小モデルや対数的Q-ホモロジー平面を分類することができた。その結果、非特異部分の対数的小平次元がゼロとなる対数的ホモロジー平面が存在しないことが分かった。これらの研究成果については、現在、論文作成中である。2.複素アフィン平面の極小コンパクト化で高々対数的端末特異点しか持たないものについて、そのような曲面はピカール数1のデルペッゾ曲面になることを証明し,起こりうる特異点を分類した。更に、ピカール数1の高々対数的端末特異点を持つデルペッゾ曲面がアフィン平面を含むための特異点に関する必要十分条件を求めた。これらの研究成果については高橋剛氏との共著論文としてAnnali di Matematica Pura ed Applicataに掲載予定である。3.対数的幾何種数とオイラー数がゼロで対数的小平次元が非負となる非特異アフィン代数曲面Sの正規コンパクト化(補集合が正規交叉因子となるようなコンパクト化のこと)をVとしたとき,V上に一般ファイバーが射影直線となるファイブレーションで,Sに制限したとき一般ファイバーがアフィン直線から一点を除いてできる曲線となるファイブレーショシを与えるものが存在することを証明した。これにより,研究代表者と岸本崇氏との共著論文"Affine lines on Q-homology planes with logarithmic Kodaira dimension -∞"中の証明の不備を補間することができた。