写像類群とその表現

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写像類群の表現としてよく知られているマグナス表現について研究をした。具体的には写像類群のマグナス表現を用いて定義されるトレリ群のマグナス表現の核の性質を調べた。トレリ群のマグナス表現は忠実でないことが知られていないが、その核の決定はされていない。この問題はトレリ群や写像類群が線型かどうかという未解決問題へのアプローチとなりえるので非常に重要な問題である。今回の研究において、トレリ群のある種の元がトレリ群のマグナス表現の核に入る必要十分条件を求めた。この結果を得るために、そのある種の元に対してマグナス表現とは関係なく定義される不変量を調べ、それとマグナス表現との関係を定式化した。すなわち、その不変量が自明になる条件とマグナス表現が自明になる条件の関係を決定した。これにより、マグナス表現がさらにいろいろな情報を含んでいることが判明した。また、トレリ群上の類関数となるマグナス行列の特性多項式の性質を調べた。そこでは具体的な特性多項式をトレリ群の典型的な元に対して与えると共に、トレリ群のある重要な部分群上でもその類関数が自明でないことを示している。その部分群とはトレリ群の正規部分群で構造のほとんど知られていない群である。つまりその群を調べることのできる不変量を見つけたことになる。このことを用いてその部分群の性質を調べた。例えばこの類関数である元がどのくらいの生成元の積で書き表せるかある程度調べることができる。これらは上記の必要十分条件を求めることに応用されている。