曲面の写像類群の代数的構造と線型表現

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トレリ群のマグナス表現に関する研究を行った。具体的にはこの表現は忠実ではないということが知られているので、その核の決定は重要な問題であるが、この核の決定のために核に含まれる多くの元を見つけた。さらに今まで知られていない種類の元を見つけるためにコンピュータ上でプログラムを構築し、数多くの元を調べ、核に含まれる元や、そうでない元を分類した。また写像類群のマグナス表現の幾何的解釈に関して考察し、論文にまとめ発表した。元々、写像類群のマグナス表現はフォックス微分を用いて、代数的に定義されるが、それを使わずに曲面の被覆空間のホモロジー群を考え、そこへの写像類群の作用が写像類群のマグナス表現となっていることを示した。さらにここではこの幾何的解釈の応用として写像類群のマグナス表現がシンプレクティックであることのより内在的な別証明を与えている。これを示すために二つの単純閉曲線のペアリングを定義して、その性質を調べている。このペアリングはある意味で二つの単純閉曲線の被覆空間上での代数的交点数となっている。また同じくフォックス微分を用いた不変量であるねじれアレキサンダー不変量の研究も行った。この不変量は有限表示可能な群とその表現、自由アーベル群への全射に対しで定義され、ほろ路地-シリンダーを介して、写像類群とも関連がある。このねじれアレキサンダー不変量と群の全射準同型との関連を調べ、その結果を用いて、結び目群の間にいつ全射があるかを全て決定した。