次数2の非正則ジーゲル保型形式に対するフーリエ・ヤコビ展開の研究

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今年度は、次数2の実シンプレクティック群G=Sp(2,R)のジーゲル極大放物部分群から誘導された主系列表現に対するフーリエ・ヤコビ型球関数に対する研究、および、フーリエ・ヤコビ型球関数と類似の球関数の明示的な研究に必要となるgl(3)の有限次表現に対するクレブシュ・ゴルダン係数の研究を行った。前者については、これまでの研究と同様な方法で、Gの包絡環の中心の元および幾つかのシュミット作用素の合成によってフーリエ・ヤコビ型球関数が満たすべき微分方程式を構成した。しかしながらこの作用は複雑であり、これを明示的に書き下すことは今後の課題である。後者では、gl(3)の有限次表現とスタンダード表現とのテンソル積の既約表現への分解を、ゲルファント・ツェルヴェンスキー基底を用いて表示した。gl(n)の有限次表現のテンソル積の記述には、ゲルファント・ツェットリン基底を用いたものがよく知られているが、我々が用いたゲルファント・ツェルヴェンスキー基底はキャノニカル基底とも呼ばれ、ゲルファント・ツェットリン基底よりも球関数の明示公式に適していると考えられるものである。本研究ではスタンダード表現に対するクレブシュ・ゴルダン係数をリー環の作用の具体的な計算によって求め、これを2回繰り返すことで(2,0,0)型の表現に対するクレブシュ・ゴルダン係数を計算した。一般の表現に対するクレブシュ・ゴルダン係数、およびこれらの結果の球関数への応用は今後の課題である。