次数2のジーゲル保型形式に対するフーリエ・ヤコビ展開の定式化の研究

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今年度は、次数2のジーゲル保型形式に対するフーリエ・ヤコビ展開の定式化の予備研究として、関連する一般球関数に対する類似研究を行い、二つの結果を得た。一つは、次数3の実シンプレクティック群Sp(3,R)の第2ヤコビ型放物部分群から誘導された主系列表現に対するホイッタカー模型についての結果であり、もう一つは次数3の複素一般線形群GL(3,C)のクラス1でない主系列表現に対するホイッタカー模型についての結果である。フーリエ・ヤコビ展開の定式化に必要である特殊関数はフーリエ・ヤコビ型球関数と呼ばれる一般球関数である。これまでの研究でその明示公式をほとんどの許容表現に対して決定してきたが、重要な許容表現のひとつであるジーゲル放物部分群から誘導された主系列表現の場合が依然残されており、フーリエ・ヤコビ型球関数の理論は未完である。この残された場合の明示公式を得ることは非常に複雑であり、今年度の類似研究はその予備研究として意義がある。今年度は、昨年度に得られていた次数3のシンプレクティック群上定義される類似の球関数についての研究をさらに進め、増大度に関してよい性質を持つ球関数の具体的な表示について新たな知見を得た。また、次数3の複素一般線形群上の球関数の考察においては、球関数が任意次元のベクトル値となるにもかかわらず、これまでにフーリエ・ヤコビ型球関数に対して行ってきた議論が有効であることを確認した。これらの類似研究を更に推進し、期待される成果をフーリエ・ヤコビ展開の定式化の問題に活用することが今後の課題である。