Roughly non-negative curvature を持つ空間の研究

Mを滑らかな完備非コンパクトなリーマン多様体とする。Mとそれ上の点oの組(M,o)が、roughly non-negative radial curvatureを持つとは、R^+U{0}上の非正値連続関数gが存在して、次を満たす時を言う。すなわち、【numerical formula】(2)x∈Mにおける、oからのラディアル曲率が、g(r)で下から押さえられる。ただし、r=d(o,x)である。このとき、gをラディアル曲率支配関数と呼び、以後、(M,o)を、roughly non-negative radial curvatureを持つもの、gをラディアル曲率支配関数とし、(M,o,g)という3つ組で書くことにする。この状況の下で、(M,o,g)を、CHモデル、すなわち、oを中心とする2次元の回転面で、oからの距離がrの点に置けるガウス曲率が、g(r)となるものとする。このとき、M上の測地三角形で、oを頂点の一つとして持つようなものに対して、モデルの方の測地三角形と、トポノゴフ型の比較定理が成立することを示し、それを使って、Mはコンパクトタイプの位相を持つ、すなわち、oからの距離関数の臨界点は、コンパクト集合の中に含まれることを示した。この結果は、2001年7月の、茨城大学における幾何学シンポジウムで口頭発表した。さらに、a>0に対して、【numerical formula】とおくと、これは点付きハウスドルフ収束に関して、プレコンパクトとなる。すなわち、{(M_i,o_i,g_i)}_<i=1,2…>⊂Γ(a)ならば、完備非コンパクトな長さの空間Xとそれ上の点o_∞が存在し、{(M_i,o_i)}の部分列を取れば、(X,o_∞)に、点付きハウスドルフ収束するということを示し、Xに理想境界X(∞)が定義され、Xの距離を拡大して行くと、X(∞)上の錘に収束することを示した。この結果は、2003年2月の、筑波大学における幾何学小研究で口頭発表した。

Mを滑らかな完備非コンパクトなリーマン多様体とする。Mとそれ上の点oの組(M,o)が、roughly non-negative radial curvatureを持つとは、R^+U{0}上の非正値連続関数gが存在して、次を満たす時を言う。すなわち、【numerical formula】(2)x∈Mにおける、oからのラディアル曲率が、g(r)で下から押さえられる。ただし、r=d(o,x)である。このとき、gをラディアル曲率支配関数と呼び、以後、(M,o)を、roughly non-negative radial curvatureを持つもの、gをラディアル曲率支配関数とし、(M,o,g)という3つ組で書くことにする。この状況の下で、(M,o,g)を、CHモデル、すなわち、oを中心とする2次元の回転面で、oからの距離がrの点に置けるガウス曲率が、g(r)となるものとする。このとき、M上の測地三角形で、oを頂点の一つとして持つようなものに対して、モデルの方の測地三角形と、トポノゴフ型の比較定理が成立することを示し、それを使って、Mはコンパクトタイプの位相を持つ、すなわち、oからの距離関数の臨界点は、コンパクト集合の中に含まれることを示した。この結果は、2001年7月の、茨城大学における幾何学シンポジウムで口頭発表した。さらに、a>0に対して、【numerical formula】とおくと、これは点付きハウスドルフ収束に関して、プレコンパクトとなる。すなわち、{(M_i,o_i,g_i)}_<i=1,2…>⊂Γ(a)ならば、完備非コンパクトな長さの空間Xとそれ上の点o_∞が存在し、{(M_i,o_i)}の部分列を取れば、(X,o_∞)に、点付きハウスドルフ収束するということを示し、Xに理想境界X(∞)が定義され、Xの距離を拡大して行くと、X(∞)上の錘に収束することを示した。この結果は、2003年2月の、筑波大学における幾何学小研究で口頭発表した。