リーマン多様体の曲率と位相

投稿中の論文「The G aussian curvature of Alexandrov surfaces」において、Gauss-Bonnetの定理のアレクサンドロフ曲面版を示し、それを使ってアレクサンドロフ曲面Χ上でのほとんど至るところでガウス曲率が定義できることを証明した。すなわち次の事が成立する。X内の十分小さな測地三角形Δに対して、Δのexcess、e(Δ)を三角形の内角の和からπを引いた値で定義する。d>0に対して、U_dを各内角がdより大きい測地三角形全体を表す。このとき、ほとんどすべてのχ∈Xに対して次が成立する。inf liminf__<d>0Δ→χ,χ∈Δ,Δ∈U_d> e(Δ)/Area(Δ)=sup limsup__<d>0Δ→χ,χ∈Δ,Δ∈U_d> e(Δ)/Area(Δ)<∞このことは筑波大学での幾何学シンポジウム、九重での幾何学小研究会、さらに東海大学での談話会において研究報告した。さらに大塚富美子氏との共同研究「The total excess of length 2-spaces(仮題)」において、アレクサンドロフ曲面をさらに弱めた、位相的にも多様体でないようなlength 2-space の研究を行なった。これは、Busemann によるnon-compact G-surface における理論を一般化したものであり、空間のtotal excessが、空間の位相構造を決定するという結果である。この研究を引続きすすめており、さらに強い結果を得られることが期待できる。この研究は、金沢大学での幾何学シンポジウムで報告した。

投稿中の論文「The G aussian curvature of Alexandrov surfaces」において、Gauss-Bonnetの定理のアレクサンドロフ曲面版を示し、それを使ってアレクサンドロフ曲面Χ上でのほとんど至るところでガウス曲率が定義できることを証明した。すなわち次の事が成立する。X内の十分小さな測地三角形Δに対して、Δのexcess、e(Δ)を三角形の内角の和からπを引いた値で定義する。d>0に対して、U_dを各内角がdより大きい測地三角形全体を表す。このとき、ほとんどすべてのχ∈Xに対して次が成立する。inf liminf__<d>0Δ→χ,χ∈Δ,Δ∈U_d> e(Δ)/Area(Δ)=sup limsup__<d>0Δ→χ,χ∈Δ,Δ∈U_d> e(Δ)/Area(Δ)<∞このことは筑波大学での幾何学シンポジウム、九重での幾何学小研究会、さらに東海大学での談話会において研究報告した。さらに大塚富美子氏との共同研究「The total excess of length 2-spaces(仮題)」において、アレクサンドロフ曲面をさらに弱めた、位相的にも多様体でないようなlength 2-space の研究を行なった。これは、Busemann によるnon-compact G-surface における理論を一般化したものであり、空間のtotal excessが、空間の位相構造を決定するという結果である。この研究を引続きすすめており、さらに強い結果を得られることが期待できる。この研究は、金沢大学での幾何学シンポジウムで報告した。