高次元シュレディンガー方程式に対する完全WKB解析

高维薛定谔方程的完整 WKB 分析

• 批准号: 13740096
• 负责人: 小池 達也
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740096/
• 关键词: 完全WKB解析; 高階パンルベ方程式; 無限階常微分方程式; 完全最急降下法

今年度は高階パンルベ方程式に対する完全WKB解析及び無限階線形常微分方程式に対する完全WKB解析を中心に行なった.まず,Gorda-Joshi-Pikeringにより提唱されたP_<II>型,あるいは,P_<IV>型の高階パンルベ方程式にしかるべく大きいパラメーターを導入し,そのストークス幾何とLax対のストークス幾何との対応関係を調べた.この対応関係は青木-河合-竹井によるパンルベ方程式の解析の際に重要な役割をはたしたものであり,その自然な拡張が得られた.この事実は高階パンルベ方程式の研究の今後の進展に大きな寄与の役割りを果すものと期待できる.さらにパンルベ方程式の研究では観察されなかった,ストークス曲線の「交叉」の問題等,高階化による特有の現象についても調べた.さらに,例えばシュレーディンガー方程式におけるエネルギーの無限次交叉の問題への応用を念頭に,無限階方程式の完全WKB解析の研究も行なった.今年度は特に大域的に正しいストークス幾何の構成について着目し,解の積分表示を用いてWKB解のボレル変換の特異性を調べた.その結果,仮想的変わり点や新しいStokes曲線を導入することで,いくつかの具体的な方程式に対するストークス幾何を実際に構成することに成功した.これらは三階の方程式に対して知られていた結果の自然な拡張になっており,大域的に正しいStokes幾何が得られたことで上述の問題への応用が期待される.またこれらの結果を踏まえて,プラズマ物理で議論されているような擬微分作用素に対する完全WKB解析の立場からの研究が現在進展中である.

This year's higher-order linear differential equations correspond to complete WKB analysis and infinite order linear ordinary differential equations correspond to complete WKB analysis. In this paper,Gorda-Joshi-Piking is introduced into the equation of P_<II>type,P_type,P_<IV>type, The relationship between the two equations is very important in the analysis of the equation. The future progress in the study of high order equations is expected. In this paper, the study of the equation is to investigate the problem of "intersection" of the curve, etc., and to improve the special phenomenon. In this paper, for example, the problem of infinite order intersection of infinite order equations is studied. This year, the structure of the geometry of a large domain is particularly important, and the integral representation of the solution is used to adjust the specificity of the WKB solution. As a result, the Stokes curve is introduced into the equation and the geometry of the equation is constructed successfully. The third order equations are related to the natural expansion of Stokes geometry in large domains. The results of this study are in progress.

项目成果

Koike, Tatsuya: "Vanishing of Stokes Curves"Microlocal Analysis and Complex Fonvier Analysis, World Scientific. 1-22 (2002)

Koike, Tatsuya：“斯托克斯曲线的消失”微局域分析和复杂 Fonvier 分析，世界科学。

Koike, Tatsuya: "The effect of new Stokes curves in exact steepest descent method"Microlocal Analysis and Complex Fonvier Analysis, World Scientific. 186-199 (2002)

Koike, Tatsuya：“精确最速下降法中新斯托克斯曲线的影响”微局域分析和复杂 Fonvier 分析，世界科学。

Koike, Tatsuya: "On the exact WKB analysis of operators admitling in finitely many phases"Advances in Mathematics. (発表予定).

Koike, Tatsuya：“关于有限多相中算子的精确 WKB 分析”数学进展（待提交）。