等質錐および等質ジーゲル領域上の解析学

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等質錘および等質ジーゲル領域の考察の基礎としての正規j代数の研究は今年度に飛躍的に発展し、ついに決定的といえる結果が得られた。すなわち全ての正規j代数は単射的なシンプレクティック表現をもち、その具体的な構造は行列のブロック分解の形で明示的に表せることがわかった。対応する等質錘や等質ジーゲル領域も行列を用いて記述され、その結果これまで知られていたあらゆる具体例を統一的に、しかもより扱いやすい形で表示することができた。さらに従来のT代数の理論との関係も明らかになった。一方、等質ジーゲル領域上の解析についてはシロフ境界上のL^2函数からなるヒルベルト空間の既約分解や、その分解に現れる可解リー群の既約ユニタリ表現に付随するウェーブレット変換について、多くの結果が得られた。そこではハイゼンベルグ群の非可換調和解析を作用素値フーリエ変換を使わない形で確立したことが計算の基礎となっている。本年度は等質錘上の相対不変式に関する論文"Basic relative invariants associated to homogeneous cones and applications"と、その等質ジーゲル領域上の解析への応用をまとめた論文"Determinant type differential operators on homogeneous Siegel domains"が出版されたが、この相対不変式は上述の研究により行列式のベキ乗の積で表せることがわかったので、今後は概均質ベクトル空間の理論との関わりも考察することによって、より深い結果が得られるものと期待している。