アラケロフ幾何学における高次チャウ群の研究

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高次チャウ群は、代数多様体のモチヴィックコホモロジーと同一視されることからもわかるように、代数幾何学では重要な不変量である。また、GilletとSouleは、整数環上で定義された多様体の算術的チャウ群とその交叉積の理論を創った。これは、通常のチャウ群の、算術的な類似とみなすことができる。筆者は、彼らの構成を高次チャウ群に拡張することによって、その算術的な類似物(以下、高次算術的チャウ群とよぶ)を構成することと、その交叉積を定義することを目指して研究している。本年度の研究成果は、以下のとうりである。高次算術的チャウ群は、筆者が研究を始める前に、A.Goncharovによって既に定義されていた。しかし彼の定義は、代数的な標準的単体を用いた高次チャウ群の定義に基づいているために、交叉積を定義するには都合が悪かった。そこで筆者は、キューブとよばれる対象を用いて、交叉積を導入しやすいように高次算術的チャウ群の定義を書き換えた。算術的チャウ群の元は、代数的サイクルとGreenカレントの組によって代表され、その交叉積は、代数的サイクルの交叉とGreenカレントの*積をくみあわせることにより構成される。高次算術的チャウ群の元もまた、代数的サイクルとカレントの組によって表される。したがって、その定義に登場するカレントの*積を構成することは、高次算術的チャウ群の交叉積を定義するためには必要不可欠である。筆者は、Greenカレントと次数1の高次算術的チャウ群にあらわれるカレントの間の*積を構成した。それを用いて高次算術的チャウ群の交叉積が部分的に構成されると思われるが、それは今後の課題である。