曲面の微分幾何と可積分な微分方程式

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「第一基本形式と平均曲率では決まらない曲面を分類せよ」というBonnetによる問題は長い歴史をもつが、4次元空間形内における同様の考察は今まで殆どなされていない。そこで4次元空間形内の曲面で臍点のないものを考え、平均曲率ベクトルの長さを保ちながら局所的に等長的に変形できるものを3次元空間形内の場合に倣ってBonnet曲面とよぶことにすると、これは極小曲面や更に一般に平行な平均曲率ベクトルをもつ曲面を例として含むスペクトル径数をもつ曲面である。4次元空間形内のBonnet曲面のスペクトル径数は一般には2次特殊ユニタリ群に値をとるが、上の2つの例のように本質的に円周に値をとる場合を考え、このようなものを単純であるということにする。このとき、法ベクトル束が平坦な単純Bonnet曲面は全測地的または全臍的3次元空間形内のBonnet曲面であることが分かった。これは極小でない平行な平均曲率ベクトルをもつ曲面に対するChen-Yauの簡約定理の一般化とみなせる。Bonnet曲面のように点に依存するスペクトル径数をもつ曲面として他に調和逆平均曲率曲面とよばれる曲面が知られているが、Euclid空間内で考えるとこれらのもつ幾何的不変量の中に相似変換で不変なものが見い出される。そこで相似幾何的観点から両者を統一的に扱い、特徴的性質をもつものを分類した。また、共形幾何的観点からWillmore曲面がSchwarz微分を保つ変形をもつ曲面として特徴付けられることを示した。調和逆平均曲率曲面と同様な性質をもつ曲面としてEuclid空間内ではBianchi曲面とよばれる曲面が知られていたが、これは空間形内の場合にも自然に定義できることが分かった。更に調和逆平均曲率曲面の場合に知られていた、はめ込みをあたえる公式、曲面間の対応、特徴的な性質をもつものについて調べた。