リエナール型微分方程式系の渦心点問題と第一積分の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

本年度は、平成14、15年度の成果を3つの具体的な微分方程式系に応用し、以下のような成果を上げた。[1]リエナール型微分方程式系であり、力学系の分岐理論の分野で有名なBogdanov-Takens系に応用を試みた。その結果、limit cycleの非存在領域が、Hopf分岐の手法により知られている従来の領域よりも大幅に拡張された。その手順は次のように述べられる。・パラメータに関する条件(A):f(x,y)=0の下で、この系に第一積分が存在することが示された。・条件(A)に基づく範囲でのlimit cycleの非存在が期待され、数値シュミレーションによりそれが検証された。・不変領:域の構成とBendixson-Dulacの方法により、条件(A)よりも弱い条件:f(x,y)【less than or equal】0下でのlimit cycleの非存在の論証を行った。この成果はGlobal condition of the non-existence of limit cycles of Bogdanov-Takens systemという題名で雑誌Far East Journal of Mathematics and Scienceに掲載された。[2]電気回路に登場する3次元常微分方程式系であるBonhoffer-van der Pol系は、ある変数変換によりリエナール型微分方程式系に帰着されることがわかった。つまり、3次元系の解軌道の定性的性質が、ある不変な曲面(第-積分のこと)S上での2次元系の解軌道のそれと位相同値であることが示された。そこで、我々の方法をこの変換系に適用することを試みた。その結果、曲面S上には3つの特異点があり、2つは渦心点、他の1つはセパラトリヅクスになっていることがわかった。また、曲面Sの近傍から出発する3次元系の解軌道は、2つの渦心点を結ぶような形でjumpingを起こす。つまり、duck解の存在も示された。この成果はOn a closed orbit of some constrained systemという題名で雑誌Nonlinear Differential Equations and Applicationsに掲載予定(2005)である。[3]リエナール型微分方程式系におけるF(x)の振幅が非常に小さい場合に、そのlimit cycleが複数個出現する系についての研究を行った。これは渦心点から不安定な特異点に移行する際に生ずる奇妙な解軌道の振る舞いである。具体例として、Duff-Levinson系のlimit cycleの一意性が示された。これは、我々の以前の結果Mathmatica Japonicae,46(1997),pp.371-376の改善になっている。この成果はUniqueness of limit cycles in the Duff and Levinson-type systemという題名である海外雑誌に投稿中である。