作用素環論における部分因子環の構造に関する研究

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本年度は作用素環,特にフォンノイマン環への群作用の研究,及び,III_1型部分因子環の解析的な側面について研究した.まず群作用については,C^*環の理論で発展させられてきたEvans-岸本による,intertwining argumentをMcDuff性を持つ因子環に適用することを考えた.Ocneanuによって,ロホリン型の定理が離散従順群のcentrally freeな作用に関して既に得られているので,これをうまく用いる事により,centrally freeな作用がいつコサイクル共役になるかを決定した.この定理の系として,まず単射的な因子環へのcentrally freeな作用がConnes-竹崎モジュールという量で,完全に決まる事が導かれる.単射的因子環への離散従順群の作用は完全な分類が実は得られているのだが,従来の方法は単射的因子環の同型類によって,議論が場合わけされていた.私の方法だと,centally freeというクラスの作用に限られるものの,因子環の同型類によらない,より統一的な証明となっている.また2番目の応用としては,強従順なII_1型部分因子環への離散従順群の強自由な作用が,Loi不変量によって完全に定まることが証明される.この定理はPopaによって得られていたのだが,私の方法はPopaの証明とは全く異なっている.III_1型部分因子環の解析的性質に関しては,部分因子環から構成されるLongo-Rehren部分因子環の完全正写像による近似に関する結果を得た.即ち部分因子環が従順性とよばれるしかるべきよい性質を持っているときに,Longo-Rehren部分因子環が,半離散性と呼ばれる性質を持つことを示した.この証明には泉-日合の分岐則代数の従順性の研究が重要な役割を果たす.これの系として,Effros-Lanceの従順性の特徴付けの,部分因子環理論版の定理が示される.実はこの結果は私自身によって得られていたのだが,以前の証明はII_∞型部分因子環を経由する間接的な方法であったので,より直接的な証明がこれで得られたことになる.