一次元量子可積分系と付随する直交多項式の理論と応用

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交付申請書に記載した研究の目的および本年度の研究実施計画に基づき,本年度は,非対称多変数直交多項式を固有関数の直交関数系に持つ,Calogero-Sutherlandタイプ及びRuijsenaarsタイプの可積分系に関する研究を進めた。その成果並びに進捗状況は以下の通りである。1)非対称Macdonald多項式のRodrigues公式を用いたスカラー積の,新しい代数的な計算法を与えた。さらに非対称Macdonald多項式のWeyl対称化による対称Macdonald多項式の自乗ノルムの計算法を与えた。2)一変数の直交多項式やJack多項式を用いて相関関数などの物理量の計算法が与えられている量子系について詳しく調べられている結果を,多変数直交多項式の代数的な構成法と量子逆散乱法との対応関係を手がかりに,Jack多項式以外の多変数直交多項式を波動関数の因子に持つ逆自乗タイプの量子可積分系について拡張することを目標に解析を進めた。3)Roslerらによって相関を持っ拡散過程と多変数Hermite多項式の関係が調べられており,このような拡散過程を記述する物理への応用を目指して,文献調査・研究を進めた。また,ごく最近峯崎・中村によって構成されたKepler問題の超可積分性を保つ時間発展の離散化にならい,同じく超可積分性を持っCalogero系についても同様の構成を試みている。