多変数直交多項式とその周辺

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本年度（令和2年度）は、初年度と2年度において得られたJack多項式のJack多項式の可換な固有微分作用素（関口作用素）を、掛け算作用素や微分作用素の共役により捻った（twistした）作用素のJack多項式への作用を明示的に書き下す公式（Pieri型公式）の更なる拡張と応用を中心に研究を行った。とりわけ多変数Meixner多項式の高階差分方程式の導出に必要となる、掛け算作用素（より一般に作用する多項式の次数を1上げる作用素）および微分作用素（より一般に作用する多項式の次数を1下げる作用素）の2種類の作用素による関口作用素の共役を混ぜた、混合型のPieri型公式を重点的に研究した。これに関しては二変数や混合型の片方を低次に制限する等の特別な場合の結果が得られたものの、完全に一般の形での導出には至らなかった。他方、当初は全く想定していなかったPieri型公式の、Jack多項式から、初年度に研究した多変数Bernoulli多項式（更に一般に二項型多項式）への拡張や、それらの拡張されたPieri型公式の応用等に関して一定の結果を得た。これらに関する2本の論文をまとめ、1本は既に出版された。また長らく懸案だったA型以外の直交多項式系、特にJacobi多項式やRacah多項式等のBC型の直交多項式系に関しても本年度は進展があった。まず応募者が多変数Meixner多項式の研究において開発した「母函数の母函数」のBC型類似を構成するうえで重要となるであろう、一変数においてさえ未知であった一連の和公式を、Jacobi多項式の(再生)核函数から導出した。特に応募者のMeixner多項式の先行研究のBC型類似にあたるRacah多項式の「母函数の母函数」とその応用の研究を現在も継続して行っている。