道やループの空間の上での確率解析

道路和环路空间的概率分析

• 批准号: 03J03705
• 负责人: 稲浜 譲
• 金额: $ 2.18万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-03J03705/
• 关键词: ループ空間; 確率過程; 確率微分方程式; ラフパス解析; ラプラスの方法; 大偏差原理; 確率テーラー展開; バナッハ空間; 確率解析; rough path理論; マリアヴァン解析; ブラウン運動; スペクトル理論

本年度は主にラフパス理論とよばれる新分野について研究した。これは、約10年まえにT.Lyonsにより創始されたもので、常微分方程式の概念を拡張することにより、確率微分方程式を非ランダム化してしまう理論である。有限次元の場合などを含め、主要な場合は確率微分方程式と守備範囲が重なっているが、正確には、守備範囲がややずれている。たとえば、無限次元のバナッハ空間上ではラフパス理論は問題なく働くものの、確率微分方程式は一般にはうまくいかないことが知られている。私が今回研究したループ空間上の確率過程というのはまさにそういった例になっており、ラフパス理論を持ち出す必然性があると言える。なお、具体的な無限次元の確率過程にラフパス理論を適用したのは、私(と共著者)の研究が初めてであり、ある種の方向性を示したと言えると思う。より具体的な研究内容は、ラフパス理諭の枠組みの中で、大偏差原理やその精密化であるラプラスの方法などを示したことである。なおこの種の極限定理は確率論では、非常に有名であり、いわば「定番」である。特にラプラスの方法は、ラフパス理論の中でははじめて証明されたように思う。今回計算したのは、極限の最初の項だけであるが、現在は任意有限個の漸近展開を求めるべく努力中である。特に、具体例としてループ空間の場合では、この研究によりFang-Zbangによるループ群の場合の結果が極めて簡単に別証明できる上に、はるかに一般の場合にまで拡張できることがわかった。ラプラスの方法に関しては、ループ空間上では自明な場合を除けば、初めての結果であるように思う。なお、ラプラスの方法の証明中で重要な役割をはたす確率テーラー展開が、非常に重要であることがわかった。今回は大変原始的な形でしか証明していないが、この確率テーラー展開を一般的な形でまとめることが、この次の課題である。確率微分方程式の場合では、確率テーラー展開もウィーナー測度という測度の選び方に依存しているが、ラプラスの方法では完全に非ランダムに(確率)テーラー展開を証明できるために、きれいにまとめることはかなり重要であるように思う。

This year's main topic is theoretical research. This is about 10 years old. The concept of ordinary differential equation is expanded. The differential equation is not transformed. The finite dimensional differential equation is correct and accurate in both cases. In the infinite dimension, the problem of theory is solved in space, and the differential equation is solved in general. This paper discusses the necessity of the spatial accuracy of the process and the theory. The concrete infinite dimensional accuracy process is applied to the study of the initial and private aspects of the theory. The concrete research contents are as follows: the principle of large deviation, the method of precision, etc.なおこの种の极限定理は确率论では、非常に有名であり、いわば“定番”である。The method of special treatment is to prove that the theory is correct. This time, the calculation of the limit of the initial term is now arbitrary finite asymptotic expansion. In particular, specific examples of the case of the Fang-Zbang, the results of the case of the Fang-Zbang, the results of the results of the Fang-Zbang, the results of the The method is related to the space, the situation is self-evident, the result is self-evident, and the result is self-evident. The method of proof is very important. This time, the original shape of the original is proved to be correct, and the accuracy of the original shape is expanded. In the case of the exact differential equation, the exact differential equation is expanded, the exact differential equation is measured, the exact differential equation is selected, the exact differential equation is determined, and the exact differential equation is proved.

项目成果

Large deviations for heat kernel measures on loop spaces Via rough paths

循环空间上热核测量值的较大偏差 通过粗糙路径

• 发表时间: 2006
• 期刊: Journal of London Mathematical Society 73・2
• 作者: Y.Inahama;et al.
• 通讯作者: et al.

Laplace's method for the laws of heat processes on loop spaces

环空间热过程定律的拉普拉斯方法

• 发表时间: 2006
• 期刊: J.Funct.Anal. (In press)
• 作者: Yuzuru Inahama;Yuzuru Inahama
• 通讯作者: Yuzuru Inahama

Logarithmic Sobolev inequality for $H_0^s$-metric on pinned loop groups

固定循环组上 $H_0^s$ 度量的对数 Sobolev 不等式

• 发表时间: 2004
• 期刊: Infin.Dimens.Anal.Quantum Probab.Relat.Top. 7
• 作者: Yuzuru Inahama;Yuzuru Inahama;Yuzuru Inahama;Yuzuru INAHAMA
• 通讯作者: Yuzuru INAHAMA

Eigenvalue asymptotics for the Schrödinger operators on the real and the complex hyperbolic spaces

实双曲空间和复双曲空间上薛定谔算子的特征值渐近

• DOI: 10.1016/j.matpur.2004.01.005
• 发表时间: 2004
• 作者: Y. Inahama;S. Shirai
• 通讯作者: S. Shirai

Yuzuru Inahama: "Eigenvalue asymptotics for the Shrodiger operators on the hyperbolic plane"J.Funct.Anal.. (to appear).

Yuzuru Inahama：“双曲平面上 Shrodiger 算子的特征值渐近”J.Funct.Anal..（即将出现）。