高自由度近可積分ハミルトン力学系の大域的相空間構造

高自由度近可积哈密顿动力系统的全局相空间结构

• 批准号: 03J04661
• 负责人: 後藤 振一郎
• 金额: $ 2.11万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-03J04661/
• 关键词: ハミルトン力学系; カオス; 統計力学; 摂動法; 相空間構造

研究課題:「高自由度近可積分ハミルトン力学系の大域的相空間構造」の研究を日本学術振興会の特別研究員(ポストドクター)制度と科学研究費補助金制度の協力を得て行なった.研究テーマ(A):『4次元シンプレクティックマップの低次元共鳴島の解析的表現』(出版済論文)研究テーマ(A)の意義:高自由度の力学系は必然的に高次元の相空間が研究対象となり,幾何学的直観による理解が困難となる.更に近可積分系の相空間では,カオス領域が相空間で混在していることにより力学系の統計的な記述が困難である.従って,本研究課題「高自由度の近可積分ハミルトン系の大域的相空間構造」への接近には工夫が必要となる.特異摂動法としての『くりこみ法』はこのような難問にアプローチする理論的枠組の候補である.それはこの摂動法が系統的な手順により,与えられた近可積分系の簡約化が可能になるからである.上記の相空間構造の理解の中で特に,相空間大域的なカオスの発生起源となる意味で重要な,「共鳴島の相空間中での配位の確定」は基本的な問題である.それゆえ,これを「くりこみ法」により議論した.研究テーマ(A)の成果:4次元の相空間内で定義されたシンプレクティックマップ(ハミルトン力学系)の共鳴島構造を解析的に与え,それを2次元低次元共鳴島の場合に数値的に確認した.研究テーマ(B):『不安定周期軌道からリアプノフ数とマクロ変数期待値へ-周期軌道依存性-』(投稿中論文)研究テーマ(B)の意義:大自由度ハミルトン系のマクロ変数期待値という統計力学の適用対象とその周期軌道という力学系の相空間の情報を結び付ける意味で,興味が持たれ近年研究が活発になりつつある研究領域が研究テーマ(B)である.しかし,その相空間内で見付かる周期軌道をどのように選べばマクロ変数期待値を再現するかは未知である.それゆえ,マクロ変数期待値を周期軌道から決定する際にこの研究は重要となる.研究テーマ(B)の成果:解析的に表現される周期軌道が少なくとも自由度の数見付かる「離散非線形シュレーデインガー方程式」においてマクロ変数期待値とリアプノフ数を周期軌道による予言と数値計算による評価の比較を行った.予言に用いるべき周期軌道は系の対象性を反映しているべきである事を示唆した結果となった。科研費の使途:数値データ等の保持に必要な「計算機に接続する外部記憶媒体」の購入,また,昨年度得られた成果発表等及を行なうため,国内外で開催された会議出席等のための旅費にも科研費を使わせて頂いた.

Research topic: "Phase space structure of large domain of high degree of freedom near integrable mechanical system" Research on cooperation between Special Fellow System of Japan Society for the Promotion of Science and Scientific Research Grant System. Research on (A):"The analytical behavior of low-dimensional resonance islands in 4-D"(published paper) The significance of research on (A): The mechanical system with high degree of freedom is inevitable, the phase space with high degree of freedom is difficult to understand. Furthermore, it is difficult to describe the statistical properties of a mechanical system. This paper presents a study on the phase space structure of a large domain of a near integrable system with high degrees of freedom. Special "motion method" and " The simplification of the system of near integrals is possible. In this paper, the origin of large domain of phase space is important, and the basic problem of "determination of coordination in resonance island of phase space" is discussed. " The results of the research on (A): the definition of resonant island structure in four-dimensional phase space and the identification of numerical values in the case of two-dimensional low-dimensional resonant island. Research topic (B):"Unstable periodic orbits: the number of periodic orbits: the number of periodic In phase space, periodic orbits are selected and expected to be reproduced. It is important to study the periodic orbits and to determine the expected values of periodic orbits. The results of this study are as follows: the analytical behavior of periodic orbits is less than the numerical value of degrees of freedom. In this case, the periodic orbit is a reflection of the symmetry of the system. Scientific research expenses: the number of items needed to maintain the "computer access to external memory media" purchase, and yesterday's annual results, such as reports and travel, at home and abroad to promote the conference attendance and other scientific research expenses.

项目成果

Analytical Expression for Low-Dimensional Resonance Islands in a 4-Dimensional Symplectic Map

4维辛图中低维共振岛的解析表达式

• 发表时间: 2006
• 期刊: Progress of Theoretical Physics 115
• 作者: Shin-itiro Goto

Non-Unversal Finite Size Effects with Unversal Infinite-Size Free Energy

具有通用无限尺寸自由能的非通用有限尺寸效应

• 期刊: Physcia A (In Press)
• 作者: Shin-itiro GOTO;Yoshiyuki Y.YAMAGUCHI
• 通讯作者: Yoshiyuki Y.YAMAGUCHI

T.Maruo, S.Goto, K.Nozaki: "Renormalization Analysis of Resonance Structure in 2-D Symplectic Map"Progress of Theoretical Physics. (In Press).

T.Maruo、S.Goto、K.Nozaki：“二维辛图中共振结构的重正化分析”理论物理进展。