非凸領域におけるパラメータ依存方程式に対する解の数値的検証法

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Perturbed Gelfand方程式は、非線形パラメータ依存方程式の代表例であり、その解曲線はいくつかのTurning Pointをもつことが知られている。特に、2つのSimple Turning Pointがくっつく点であるDouble Turning Pointについては、数値的にも解析的にも興味をもたれ、さまざまな研究が行われてきた。しかし、方程式の非線形性が強く、Turning Point付近では一般的な非線形方程式に対する数値計算法が破綻するため、数値計算結果もあまり報告されていない。しかも、その報告はすべて近似解に関するものでDouble Turning Pointを精度保証付き数値計算で求めた例はない。また、最近ではDouble Turning Pointに対する精度保証付き数値計算法も提案されているが、実際に、無限次元問題に適用した例はない。そのような中、本研究では、問題を球対称解に制限した上で、Kellerらが導入した拡大方程式と中尾の方法を組み合わせてDouble Turning Pointの局所一意存在性を証明することに成功した。これは、無限次元問題のDouble Turning Point対して精度保証付き数値計算に成功した初めての例である。さらに、矩形領域や非凸領域上でも計算を行い、矩形領域ではいくつか解の数値的検証に成功した。なお、この研究の過程で、いくつかの幻影解(Ghost Solution)が観測された。