大規模線形方程式ソルバーを高速化する前処理手法の開発とその応用

加速大规模线性方程求解器的预处理方法开发及其应用

• 批准号: 15760049
• 负责人: 阿部 邦美
• 金额: $ 2.24万
• 依托单位: Gifu Shotoku Gakuen University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15760049/
• 关键词: Krylov空間法; 一般化共役残差法; 定常反復法; 前処理; 共役残差法; 正定値対称行列; 線形方程式; Krylov部分空間解法; 特異; 最小二乗問題; 逐次緩和法; ハイブリッド

本年度は,線形方程式Ax=bを高速に解くための前処理,および前処理行列の対称正定値行性を保存するような前処理付きアルゴリズムについて研究をすすめた.まず,従来はKrylov空間法のアルゴリズム(外部反復)の反復の過程でK^<-1>ν(Kは前処理行列)を求めることによって前処理を行うのに対して,われわれはA^<-1>νの近似を求めることによって前処理する方法を提案した.ここで,A^<-1>νの近似はAz=νをある精度まで反復法で解くこと(内部反復)によって求められる.そして,この提案する前処理の概念を一般化共役残差法に実装し,その収束性を解析した.また,内部反復に定常反復法(逐次過剰緩和法など)を用い,定常反復法とKrylov空間法との融合を実現した.数値実験では,従来の前処理では解けない問題や多くの計算時間を要する問題に対して顕著な効果があった.特異な系に残差最小化アプローチに基づく解法を適用すると,理論的には残差ノルムは最小残差に収束することが知られている.しかしながら,実際の計算では,最小残差に収束した後にそれ以下の値になる(理論と矛盾).そこで,われわれは以前に,理論が示すと通りに収束する改良版アルゴリズムを提案した.その解法に前処理を施したアルゴリズムを考える場合,計算量を増やすことなく係数行列の対称正定値性を保存することはできない.そこで,計算量を増やすことなく,かつ係数行列の対称正定値性を保存する前処理付きアルゴリズムを提案した.数値実験では,対称正定値性を保存するアルゴリズムが対称正定値性を保存しない場合よりも有効であることを示した.

This year, the linear equation Ax=b is solved at high speed, and the pre-processing, pre-processing, and pre-processing arrays are preserved. The method of the Krylov space method is proposed for the calculation of the approximation of the A^v (external iteration) and the iterative process of the K^<-1>v (K ^v pre-processing array)<-1>. A^ ν approximation <-1>Az=ν. In this paper, the concept of the former theory of this proposal is generalized and the residual method is implemented, and the convergence is analyzed. The method of constant iteration of internal iteration (successive iteration method) is used, and the method of constant iteration and Krylov space method are merged. The number of problems in the pre-processing of the problem is not equal to the number of problems in the calculation of the problem. The method of minimizing the residual error of a particular system is applicable to the theoretical method of minimizing the residual error of the system. The calculation of the minimum residual error is based on the following values (theoretical contradiction). The original version of the book was published in 2002. In the case where the pre-processing of the solution is performed, the calculation quantity is increased, and the correlation coefficient is preserved. For example, the calculation quantity is increased, and the coefficient array is preserved. The number of positive definite values is not equal to the number of positive definite values.

项目成果

MRTR法の対称正定値行列用前処理について

关于MRTR方法对称正定矩阵的预处理

• 发表时间: 2005
• 期刊: Transactions of JSCBS(日本計算工学会) 2005号
• 作者: 塩出亮;藤野清次;阿部邦美
• 通讯作者: 阿部邦美

A Variable Preconditioning with the SOR Method for the GCR-like Methods

类 GCR 方法的 SOR 变量预处理

• 发表时间: 2005
• 期刊: International J. of Numerical Analysis and Modeling 2
• 作者: K.Abe;S.Zhnag
• 通讯作者: S.Zhnag

A Variant of the Orthomin(2) Method for Singular Linear Systems

奇异线性系统 Orthomin(2) 方法的变体

• 发表时间: 2004
• 期刊: Numerical Algorithms 36・3
• 作者: Kuniyoshi ABE;Shao-Liang ZHANG
• 通讯作者: Shao-Liang ZHANG

曽我部知宏, 金成海, 阿部邦美, 張紹良: "CGS法の改良について"日本応用数理学会論文誌. 14巻1号. 1-12 (2004)

Tomohiro Sogabe、Narumi Kane、Kunimi Abe、张少良：“CGS 方法的改进”日本应用数学学会学报第 14 卷，第 1. 1-12 期（2004 年）。

A Numerical Study for Effects of Inner Solvers in Variable Preconditioned GCR

可变预条件 GCR 中内求解器影响的数值研究

• 发表时间: 2005
• 期刊: ICNAAM 2005 Proceedings
• 作者: Kuniyoshi Abe;Shao-Liang Zhang
• 通讯作者: Shao-Liang Zhang