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3次元多様体や結び目の体積予想の研究

3维流形和结的体积预测研究

基本信息

批准号：
04J01668
负责人：
大貫浩二
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究は体積予想に関する研究である。量子不変量と呼ばれる結び目の不変量は主に量子群の表現を使って構成される。Jones多項式の発見以降、数々の量子不変量が発見されたが、それは主に表現論や数理物理的な手法によるもので、長年、こういった不変量の幾何学な解釈で特に直接的なものは得られていなかったが、本研究のテーマでもある体積予想はこの直接的な解釈を与えられる魅力的な予想である。R.Kashaevによって構成された量子不変量のある種の極限が結び目の補空間の双曲体積を決定することが1995年に予想され、後に、Jones多項式の一般化でもあるcolored Jones多項式の特殊値に等しいことが示されたため、colored Jones多項式のある種の極限が補空間の体積を決定することも予想された。この予想が体積予想と呼ばれている。近年、S.Gukovや村上斉により、colored Jones多項式の極限は、結び目を特異集合とする3次元錐多様体の体積、もっと一般的に、結び目に一般化されたDehn手術を施して得られる3次元多様体の体積、Chern-Simons不変量とも関係することも予想され、8の字結び目に関して、そのことを示唆する結果が得られている。さらにS.GaroufalidisやT.T.Q.Leらによってこういった極限の研究がなされ、複数の結果が得られている。今年度、私は、Borromean ringsに対して、colored Jones多項式の極限とBorromean ringsの3つの成分を特異集合とする双曲錐多様体(3つの錐角が異なる)の体積の関係についての研究を行った。また、体積予想の厳密な証明をするためのキーとなる不変量の積分表示、鞍点法による評価方法等の研究も行った。一方、2橋絡み目のcolored Jones多項式と補空間の幾何構造に関する論文がJournal of Knot Theory and Its Ramificationsから出版された。

This study is intended to focus on the study. The quantum quantity and the structure of the quantum group Jones Polynomial is developed in terms of descent, number and quantum invariance. It is expressed in terms of mathematical physics. It is expressed in terms of method, chronology and geometric invariance. It is especially direct. It is expressed in terms of volume and charm. R.Kashaev, the author of this paper, proposed in 1995 the generalization of the colored Jones polynomial and the determination of the hyperbolic volume of the complementary space. I want to be able to do this. In recent years, S.Gukov, Murakami, colored Jones polynomial limit, node and eye special set, volume of three-dimensional cone multi-object, general, node and eye generalization, Dehn operation to obtain the volume of three-dimensional multi-object, Chern-Simons, non-quantitative relationship between the two, eight, word and eye related, and other results have been obtained. S.Garoufalidis and T.T.Q.Le The study of the relationship between the volume of hyperbolic cone polyhedrons (3-cone angles are different) and the limit of colored Jones polynomials and the composition of Borromean rings is carried out. Research on integral expression, saddle point method and evaluation method of volume calculation A paper on the geometric construction of one-square, two-bridge networks and complementary spaces was published in Journal of Knot Theory and Its Ramifications.