活性・抑制型反応拡散方程式系の定常解構造に関する研究

主动/抑制反应扩散方程组稳态解结构研究

基本信息

批准号：
04J04120
负责人：
松澤寛
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Tokyo Metropolitan University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2005
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-04J04120/
关键词：
双安定反応拡散方程式遷移層 Allen-Cahn方程式特異極限

项目摘要

FitzHugh-Nagumo型楕円型方程式系の境界値問題に関連して次の2つについて研究を行った.1.非斉次Allen-Cahn方程式の定常問題数直線上の区間(0,1)上の境界値問題-(ε^2)u_{xx}=u(a(x)^2-u^2)を考える.境界条件はNeumann境界条件で,a(x)>0なる関数で,ε>0は十分小さい定数.非定常問題で拡散を無視した場合の常微分方程式の考察から,a(x)と-a(x)は2つの安定な状態を表し,非線形項は双安定と呼ばれる.a(x)が定数関数の場合,安定な定常解は定数しかないということが知られていたが,a(x)が定数でなく,有限個の極小点をもち,各極小点で2回微分が0でない場合,2000年にNakashimaによって,任意の極小点のまわりに遷移層をもつ解の存在が示されている.ここで遷移層とは,この場合,非常に狭い範囲で解の値が-a(x)からa(x)あるいはa(x)から-a(x)に変化する形状をいう.そこで,本研究ではa(x)が極小値をある区間Iでとっている場合,区間Iのまわりに遷移層をもつ解を構成できるかという問題について研究を行った.本研究では変分方に基づいた優解・劣解の方法を用いることにより,遷移層をもつ解の存在を示すことができた.2.unbalancedな双安定反応拡散方程式の定常問題原点中心の単位球上で境界値問題-(ε^2)Δu=h(|x|)^2(u-a(|x|))(1-u^2)をNeumann境界条件で考える.同じくε>0は十分小さく,h>0,-1<a<1である.以前の研究により,a(r)=0となるrの集合の前後でaが符号を変えている場合,対応するエネルギーを最小にする解は,球対称であり,その集合のまわりに-1から1あるいは1から-1へ狭い範囲で急激に値をかえる遷移層を持つことが知られていた.本研究では,ある区間I上でa(r)=0となり,その区間の前後でaが符号を変えている場合.遷移層ができる位置に関して,h(r)がどのような影響を受けるかに関する研究を行ったところ,r^{N-1}h(r)をその区間Iで一番小さくするrのまわりに遷移層ができることを示すことができた.

我们研究了以下两个问题，上面关于菲茨胡格 - 纳古莫型椭圆方程系统的边界价值问题1。考虑边界值问题 - （ε^2）u_ {xx} = u（a（x）^2-u^2）在非对称的allen-cahn方程的稳态问题编号线上。边界条件是Neumann边界条件，A（X）> 0函数，并且ε> 0是一个足够小的常数。从在非平稳问题中忽略扩散时的普通微分方程时，a（x）和-a（x）代表两个稳定的状态，而非线性项称为Bistable。众所周知，当A（x）是一个恒定函数时，只有稳定的稳定解是一个常数，但是在这种情况下，如果A（x）不是常数，则具有有限的最小点，并且在每个最小值中，衍生物两次并不为零，在2000年，Nakashima在2000年表明，在任何最小最小的最小值周围都有一个溶液。在这种情况下，在这种情况下，过渡层是指解决方案值从-a（x）变为（x）或（x）或-a（x）在非常狭窄的范围内的形状。因此，在这项研究中，如果a（x）在一定间隔I中取出最低值，那么间隔I周围的区域是，我们研究了是否可以构建具有过渡层的解决方案的问题。在这项研究中，我们能够通过基于变异的界面问题来证明存在过渡层的求解层的解决方案。 - （ε^2）Δu= h（| x |）^2（u-a（| x |））（1-u^2）作为neumann边界条件。众所周知，有一个过渡层在其集合周围的狭窄范围内迅速更改其值。在这项研究中，当A（r）= 0在一定间隔I中，并且A在该间隔之前和之后更改了符号。我们已经研究了H（R）如何影响过渡层的位置，并且可以证明可以围绕R形成过渡层，这使得R^{n-1} H（r）在该间隔I中最小。