Geometrie metrischer Räume

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Singuläre Räume treten in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auf. Ihr Verständnis bringt auch viele Fortschritte in nichtsingulären Situationen mit. Es soll versucht werden, sowohl Methoden der Integralgeometrie als auch der Differentialgeometrie auf singuläre Räume anzuwenden. Als besonders wichtigen Spezialfall werden stückweise lineare Räume behandelt. Diese treten beispielsweise in der Numerik (Finite Elemente Methode) oder in der Physik (Quantisierung der Allgemeinen Relativitätstheorie) auf. Sie verhalten sich in vielerlei Hinsicht wie Riemannsche Mannigfaltigkeiten, doch durch die zusätzliche kombinatorische Struktur sind sie leichter zu handhaben. Ein wichtiges Problem, die Hopf-Vermutung, wurde ursprünglich für Riemannsche Mannigfaltigkeiten gestellt, macht aber auch für stückweise lineare Räume Sinn. Die Integralgeometrie liefert geeignete Hilfsmittel, um dieses Problem anzugehen. Eine ebenso wichtige Frage ist, ob Riemannsche Mannigfaltigkeiten durch stückweise lineare Räume approximiert werden können.