Geometrische Ungleichungen in Analysis und Integralgeometrie

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Ausgehend von affin-invarianten Ungleichungen für Lp-Projektionenkörper und affin-invarianten Sobolevungleichungen sollen geometrische Ungleichungen sowohl mit Methoden der Integralgeometrie, der Differentialgeometrie und der Analysis untersucht werden. Im Blickpunkt stehen Ungleichungen, welche in verwandten Versionen für konvexe Körper und auf funktionaler Ebene auftauchen. Ein Ziel des Projektes ist die Bestimmung optimaler Konstanten sowie die Charakterisierung extremaler Körper und extremaler Funktionen. Ferner soll das Verhalten der relevanten geometrischen Größen unter Symmetrisierungen und Rearrangements analysiert werden. Ziel dieser Analyse sind neue Ungleichungen vom Polya-Szegö-Typ, in denen auch der Gleichheitsfall charakterisiert werden soll. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Herleitung und Analyse geometrischer Ungleichungen in komplexen und hermiteschen Vektorräumen. An der Schnittstelle zwischen Analysis und Geometrie stehen Methoden des Optimalen Transports und geometrische Flussgleichungen, welche zur Untersuchung der obigen Fragestellungen mit herangezogen werden sollen.