グラフのアドレス付け問題・BIBDの生起行列への分解問題

今年度は、主に、quadruple systemの群論的構成法の研究に取り組んだ。quadruple systemとは、自然数t(t>2)に対して最小の非自明な組合せt-デザインのクラスである。巡回的デザインに関するdifference cycleの概念を一般の可換群版へと拡張したsymmetric blockを導入して、可換群を点正則な自己同型群にもつ指数3のquadruple systemの存在を示した。この結果を巡回群に特化させると、Kohlerの定理(1980)に一致する。一方、対称ブロックからなるデザインがもつ諸性質についても吟味した。特に、上述の方法で得られたquadruple systemのブロック集合が、cyclic resolutionに分割されることを確認した。デザインのcyclicresolutionの存在問題は、beutelspacherの仕事(1974)に端を発する有限幾何学の古典的な問題であるが、一般のtに対して、この構造をもつデザインの存在性はこれまでほとんど知られていなかった。この点を鑑みて、私の結果は当該研究分野に先鞭をつけたといえる。最近の研究によって、対称ブロックに付随する特殊な代数的グラフと、指数1のquadruplesystemが密接に関わっていることが明らかになったため、今後、quadruplesystemの存在問題はより直観的(幾何的)に取り組まれ、本質的な進展を遂げるだろうと期待している。

今年度は、主に、quadruple systemの群論的構成法の研究に取り組んだ。quadruple systemとは、自然数t(t>2)に対して最小の非自明な組合せt-デザインのクラスである。巡回的デザインに関するdifference cycleの概念を一般の可換群版へと拡張したsymmetric blockを導入して、可換群を点正則な自己同型群にもつ指数3のquadruple systemの存在を示した。この結果を巡回群に特化させると、Kohlerの定理(1980)に一致する。一方、対称ブロックからなるデザインがもつ諸性質についても吟味した。特に、上述の方法で得られたquadruple systemのブロック集合が、cyclic resolutionに分割されることを確認した。デザインのcyclicresolutionの存在問題は、beutelspacherの仕事(1974)に端を発する有限幾何学の古典的な問題であるが、一般のtに対して、この構造をもつデザインの存在性はこれまでほとんど知られていなかった。この点を鑑みて、私の結果は当該研究分野に先鞭をつけたといえる。最近の研究によって、対称ブロックに付随する特殊な代数的グラフと、指数1のquadruplesystemが密接に関わっていることが明らかになったため、今後、quadruplesystemの存在問題はより直観的(幾何的)に取り組まれ、本質的な進展を遂げるだろうと期待している。